第十三章

随机变量的数字特征

期望、方差与极限定理——概率论的核心计算

概率统计约6% 重点章节

本章学习进度

本章目录

考纲要求
数学期望
方差
常见分布的期望与方差
协方差与相关系数
矩与协方差矩阵
大数定律
中心极限定理

📋考纲要求

随机变量的数字特征是概率论的计算核心，是从"知道分布"到"提取关键信息"的桥梁。本章在上一章"分布"的基础上，引入刻画随机变量平均取值（期望）、离散程度（方差）、线性关联程度（协方差与相关系数）等数字特征，并进一步研究随机变量序列的极限行为——大数定律与中心极限定理。这些内容是数理统计的理论基石，也是考研概率统计部分计算量最大、最容易拿分也最容易失分的部分。

知识点	考试要求	考查层次
随机变量数学期望的概念	理解数学期望的概念，掌握数学期望的性质	理解/掌握
期望的计算（离散型、连续型）	掌握离散型与连续型随机变量期望的计算	掌握
随机变量函数的期望	掌握一维、二维随机变量函数的数学期望	掌握
方差的概念与计算	理解方差的概念，掌握方差的计算公式与性质	理解/掌握
常见分布的期望与方差	掌握 0-1、二项、泊松、均匀、指数、正态等分布的期望与方差	掌握
标准化随机变量	理解标准化随机变量的概念	理解
协方差与相关系数	理解协方差与相关系数的概念、性质，掌握计算	理解/掌握
不相关与独立的关系	理解不相关与独立的关系，掌握判定	理解
矩与协方差矩阵	了解矩、协方差矩阵的概念	了解
切比雪夫不等式	掌握切比雪夫不等式及其应用	掌握
大数定律	了解切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律	了解
中心极限定理	了解独立同分布的中心极限定理与棣莫弗-拉普拉斯定理	了解

📌 命题趋势

随机变量的数字特征在考研数学一中约占 6% 的分值，是概率统计部分计算题的主要来源，每年几乎必考。考查重点集中在：期望与方差的计算（含随机变量函数的期望，必考点，填空/解答）、利用性质求 D(X±Y)、E(XY)（注意是否独立，否则需用协方差）、协方差与相关系数的计算与判定（高频解答题）、常见分布期望与方差的记忆与应用（选择题常考细节，如 E[X²]=DX+(EX)²）。切比雪夫不等式的"估算概率上界"、中心极限定理的"近似计算概率"是特色题型，需熟练。大数定律与中心极限定理的结论记忆、适用条件辨析是选择题的高频考点。

➗数学期望

数学期望（简称期望，记作 $E(X)$ 或 $EX$ ）是刻画随机变量取值中心（平均取值）的数字特征，是所有数字特征的基础。方差、协方差等都可以借助期望来定义。

一、离散型随机变量的期望

📖 定义：离散型随机变量的数学期望 ▼

设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P{X = x k} = p k$ （ $k = 1, 2, \dots$ ）。若级数 $Σ k=1 \infty |x k | p k$ 收敛（即绝对收敛），则称

E(X) = Σ k=1 \infty x k p k

为随机变量 $X$ 的数学期望。若上述级数不绝对收敛，则称 $X$ 的期望不存在。

期望的直观含义：它是随机变量取值以概率为权的加权平均，反映 X 取值的"中心位置"。

⚠️ 绝对收敛的条件

定义中要求绝对收敛（即 Σ|x_k|p_k < ∞）而非仅仅条件收敛。原因是：若仅条件收敛，级数的和会因项的排列顺序不同而改变，而期望作为描述客观平均值的量不应依赖排列顺序。考研中一般给定有限分布或常见分布，期望都存在，但理论辨析题可能考查此点。

二、连续型随机变量的期望

📖 定义：连续型随机变量的数学期望 ▼

设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$ 。若广义积分 $\int -\infty +\infty |x| f(x) dx$ 收敛，则称

E(X) = \int -\infty +\infty x f(x) dx

为 $X$ 的数学期望。它是离散型期望的"积分"类比：把概率 $p k$ 换成概率元 $f(x)dx$ ，把求和换成积分。

三、数学期望的性质

定理：数学期望的性质 ▼

设 $C$ 为常数， $X, Y$ 为随机变量且期望存在，则：

① 常数的期望： $E(C) = C$ 。

② 线性性质（提取常数）： $E(CX) = C\cdotE(X)$ 。

③ 和的期望等于期望之和： $E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)$ 。此性质不要求 X, Y 独立，可推广到有限个： $E(Σ X i) = Σ E(X i)$ 。

④ 线性组合： $E(aX + bY) = a\cdotE(X) + b\cdotE(Y)$ （ $a, b$ 为常数，无需独立）。

⑤ 乘积的期望（需独立）：若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $E(XY) = E(X)\cdotE(Y)$ 。注意：此性质要求独立，是其必要条件之一（但非充要，存在不独立也满足 E(XY)=E(X)E(Y) 的情形，即"不相关"）。

⚠️ 关键易错点

E(X+Y) = E(X)+E(Y) 恒成立（无需独立），但 E(XY) = E(X)E(Y) 必须独立才成立！ 这是考研高频陷阱。计算 E(XY) 时，若题目未说明独立，必须用定义（二维联合分布律/密度积分）或 $E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y)$ 来求，切勿直接拆成乘积。只有"独立"或"已证不相关"时才可拆。

四、随机变量函数的期望

计算 $Y = g(X)$ 的期望时，无需先求 Y 的分布，可直接利用 X 的分布对 g(X) 求期望，这大大简化了计算。

定理：随机变量函数的期望公式 ▼

(1) 一维离散型：若 $X$ 为离散型，分布律 $P{X=x k}=p k$ ，则

E[g(X)] = Σ k g(x k) p k

(2) 一维连续型：若 $X$ 为连续型，密度为 $f(x)$ ，则

E[g(X)] = \int -\infty +\infty g(x) f(x) dx

(3) 二维离散型：若 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $p ij$ ，则

E[g(X,Y)] = Σ i Σ j g(x i, y j) p ij

(4) 二维连续型：若 $(X,Y)$ 的联合密度为 $f(x,y)$ ，则

E[g(X,Y)] = \int\int g(x,y) f(x,y) dx dy

特别地，取 $g(X,Y)=XY$ 得 $E(XY)$ ，取 $g(X)=X²$ 得 $E(X²)$ ——这些是计算方差、协方差的核心。

💡 解题技巧

遇到求 $E(X²)$ 、 $E(XY)$ 、 $E(e X)$ 等，优先用函数期望公式直接对原分布积分/求和，避免先求函数的分布再求期望的繁琐。例如已知 $X~U(0,1)$ 求 $E(e X)$ ，直接 $\int₀¹ e x \cdot1 dx = e-1$ ，无需先求 Y=e^X 的密度。

📊方差

方差（记作 $D(X)$ 或 $Var(X)$ 、 $DX$ ）是刻画随机变量取值相对于期望的离散程度的数字特征。方差越大，取值越分散；方差越小，取值越集中在期望附近。

一、方差的定义

📖 定义：方差与标准差 ▼

设 $X$ 是一个随机变量，若 $E{[X - E(X)]²}$ 存在，则称

D(X) = E{[X - E(X)]²} = E(X²) - [E(X)]²

为 $X$ 的方差。称 $σ(X) = \sqrtD(X)$ （或记 $σ X$ ）为 $X$ 的标准差或均方差。

方差表示 X 与其期望 $E(X)$ 偏差平方的平均值，恒有 $D(X) \geq 0$ 。

二、方差的计算公式

D(X) = E(X²) - [E(X)]² 核心公式

这是考研最常用的方差计算公式，它把方差转化为两个期望的运算： $E(X²)$ （用函数期望公式求）和 $[E(X)]²$ 。推导：

D(X) = E[(X-EX)²] = E[X² - 2X\cdotEX + (EX)²] = E(X²) - 2(EX)(EX) + (EX)² = E(X²) - (EX)²

其中用到性质 $E(2X\cdotEX) = 2EX\cdotE(X) = 2(EX)²$ （因为 $EX$ 是常数），以及 $E[(EX)²] = (EX)²$ 。

⚠️ 公式记忆要点

D(X) = E(X²) - (EX)²，注意是"平方的期望减期望的平方"，符号相反。切勿写成 $E(X²)-(EX)²$ 反了符号，或误记为 $(EX)²-E(X²)$ （这样会得到负数，违反 D(X)≥0）。若计算结果为负，一定错了。

三、方差的性质

定理：方差的性质 ▼

设 $C, a, b$ 为常数， $X, Y$ 为随机变量，方差存在：

① 常数的方差为零： $D(C) = 0$ 。

② 平方放大： $D(CX) = C²\cdotD(X)$ （注意是 $C²$ 不是 C）。

③ 平移不变： $D(X + C) = D(X)$ （加减常数不改变离散程度）。

④ 线性变换： $D(aX + b) = a²\cdotD(X)$ 。

⑤ 和差的方差（需独立）：若 $X, Y$ 相互独立，则 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$ 。注意：无论 X+Y 还是 X-Y，都是相加（独立时协方差为 0）。一般情形：

D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X, Y)

⑥ 非负性： $D(X) \geq 0$ ，且 $D(X) = 0 ⟺ P{X = E(X)} = 1$ （即 X 以概率 1 为常数）。

⑦ 独立推广：若 $X 1,\dots,X n$ 相互独立，则 $D(Σ X i) = Σ D(X i)$ 。

❌ 高频错误

求 $D(X-Y)$ 时，不是 $D(X)-D(Y)$ ！正确公式是 $D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$ 。当 X,Y 独立时为 $D(X)+D(Y)$ 。原因是 $(X-Y)$ 的方差展开含 $-2Cov(X,Y)$ ，但 $D(-Y)=D(Y)$ ，故独立时叠加为正。务必牢记：和与差的方差在独立时都是"相加"。

四、标准化随机变量

📖 定义：标准化随机变量 ▼

设随机变量 $X$ 的期望 $E(X)=μ$ ，方差 $D(X)=σ²>0$ ，称

X* = (X - μ) / σ = [X - E(X)] / \sqrtD(X)

为 $X$ 的标准化随机变量。它满足：

E(X*) = 0， D(X*) = 1

标准化是消除量纲、统一尺度的常用手段。正态分布的标准化 $Z=(X-μ)/σ~N(0,1)$ 即由此而来；切比雪夫不等式、中心极限定理中也用到标准化。

📚常见分布的期望与方差

常见分布的期望与方差是考研必须熟记的内容，它们是选择填空题的直接得分点，也是解答题的快捷工具。下表汇总了考研范围内的所有常见分布：

分布名称	记号 / 分布律或密度	期望 E(X)	方差 D(X)
0-1 分布	X ~ B(1, p)，P{X=1}=p	p	p(1-p)
二项分布	X ~ B(n, p)	np	np(1-p)
泊松分布	X ~ P(λ) / π(λ)	λ	λ
几何分布	X ~ Ge(p)	1/p	(1-p)/p²
均匀分布	X ~ U(a, b)	(a+b)/2	(b-a)²/12
指数分布	X ~ Exp(λ)	1/λ	1/λ²
正态分布	X ~ N(μ, σ²)	μ	σ²

💡 记忆技巧与重要结论

泊松分布的期望与方差相等且都等于参数 λ，这是泊松分布的标志性特征，常作为隐含条件命题。指数分布的方差是期望的平方（ $1/λ²$ ），且具有无记忆性。均匀分布的期望是区间中点、方差为区间长度平方的 1/12。正态分布的两个参数恰好就是期望和方差。二项分布可看作 n 个独立 0-1 分布之和，故期望与方差都是单次的 n 倍。推导 E[X²] 的快捷公式： $E(X²) = D(X) + [E(X)]²$ ，由方差公式反推得到，在填空题中极为常用。

🔗协方差与相关系数

协方差与相关系数刻画两个随机变量之间的线性关联程度，是本章的重点与难点，几乎每年考研都会以解答题形式出现。

一、协方差

📖 定义：协方差 ▼

设 $(X, Y)$ 是二维随机变量，若 $E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}$ 存在，则称

Cov(X, Y) = E{[X - E(X)][Y - E(Y)]}

为 $X$ 与 $Y$ 的协方差。

计算公式（最常用）：

Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)\cdotE(Y) 核心公式

当 $X=Y$ 时， $Cov(X,X) = D(X)$ ，即方差是协方差的特例。

定理：协方差的性质 ▼

① 对称性： $Cov(X, Y) = Cov(Y, X)$ 。

② 双线性： $Cov(aX, bY) = ab\cdotCov(X, Y)$ （ $a, b$ 为常数）。

③ 可加性： $Cov(X 1 +X 2, Y) = Cov(X 1, Y) + Cov(X 2, Y)$ 。

④ 与常数： $Cov(X, C) = 0$ （常数与任何随机变量协方差为 0）。

⑤ 独立必协方差为零：若 $X, Y$ 独立，则 $Cov(X, Y) = 0$ （反之不成立）。

⑥ 方差展开： $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X, Y)$ ，这是计算和差方差的通用公式。

⑦ 柯西-施瓦茨不等式： $[Cov(X,Y)]² \leq D(X)\cdotD(Y)$ ，等号成立当且仅当 $X, Y$ 以概率 1 线性相关。

二、相关系数

📖 定义：相关系数 ▼

设 $D(X)>0, D(Y)>0$ ，称

ρ XY = Cov(X, Y) / [σ(X)\cdotσ(Y)] = Cov(X, Y) / \sqrt[D(X)\cdotD(Y)]

为 $X$ 与 $Y$ 的相关系数（皮尔逊相关系数）。它是无量纲的量，消除了量纲和尺度的影响，纯粹刻画线性相关程度。

定理：相关系数的性质 ▼

① 有界性： $|ρ XY | \leq 1$ （由柯西-施瓦茨不等式保证）。

② 线性相关的充要条件： $|ρ XY | = 1 ⟺ P{Y = aX + b} = 1$ （ $a\neq0$ ）。具体地：

ρ = 1 ⟺ Y = aX + b 以概率 1 成立且 a > 0（完全正线性相关） ρ = -1 ⟺ Y = aX + b 以概率 1 成立且 a < 0（完全负线性相关）

③ 符号意义： $ρ > 0$ 表示正相关（X 增大 Y 倾向增大）； $ρ < 0$ 表示负相关； $ρ = 0$ 表示不相关（无线性关系）。

④ 对线性变换不变（仅符号）：对 $a>0$ ， $ρ(aX, Y) = ρ(X, Y)$ ； $ρ(-X, Y) = -ρ(X, Y)$ 。

三、不相关与独立的关系

定理：不相关的等价条件 ▼

设 $D(X)>0, D(Y)>0$ ，下列五个命题等价（都称为"X 与 Y 不相关"）：

① $Cov(X, Y) = 0$ ；

② $ρ XY = 0$ ；

③ $E(XY) = E(X)\cdotE(Y)$ ；

④ $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$ 。

注意：这四条只是"不相关"的不同表述，并不等价于"独立"。

⚠️ "不相关"与"独立"的关系（高频考点）

独立 ⟹ 不相关（恒成立），但反之不成立！ 即：独立一定不相关，但不相关不一定独立。原因：独立要求任何函数关系都分解（ $E[g(X)h(Y)]=E[g(X)]E[h(Y)]$ 对一切 g, h），而不相关只要求线性关系分解（ $E(XY)=E(X)E(Y)$ ），后者条件弱得多。

仅一个重要例外：当 $(X, Y)$ 服从二维正态分布时，"不相关"与"独立"等价。即对二维正态， $ρ=0 ⟺ X,Y 独立$ 。这是考研最常考的辨析点。

构造反例（说明不相关未必独立）：设 $X~N(0,1)$ ，令 $Y=X²$ 。则 $E(XY)=E(X³)=0$ （奇函数对称区间）， $E(X)E(Y)=0\cdotE(X²)=0$ ，故 $Cov(X,Y)=0$ （不相关）；但 $Y$ 完全由 $X$ 决定，显然不独立。此例表明：不相关只排除"线性"关系，不排除"非线性"关系。

📌 解题主线

计算协方差/相关系数的标准流程：① 由联合分布求 $E(X), E(Y), E(XY), E(X²), E(Y²)$ （用二维函数期望公式）；② $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ ；③ $D(X)=E(X²)-(EX)²$ 、 $D(Y)=E(Y²)-(EY)²$ ；④ $ρ=Cov/\sqrt(DX\cdotDY)$ 。若已知边缘分布与独立性，可直接用 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 快速求解。

📐矩与协方差矩阵

矩是数字特征的一般化概念，期望、方差、协方差都是特定矩的特例。协方差矩阵则是多维情形下数字特征的矩阵表示。

一、原点矩与中心矩

📖 定义：原点矩与中心矩 ▼

设 $X$ 为随机变量，若 $E(X k)$ 存在（ $k$ 为正整数）：

① k 阶原点矩： $ν k = E(X k)$ 。一阶原点矩即期望： $ν 1 = E(X)$ 。

② k 阶中心矩： $μ k = E{[X - E(X)] k}$ 。一阶中心矩恒为 0： $μ 1 =0$ ；二阶中心矩即方差： $μ 2 = D(X)$ 。

③ 混合矩：对二维 $(X,Y)$ ，称 $E(X k Y l)$ 为 $k+l$ 阶混合原点矩；称 $E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l}$ 为 $k+l$ 阶混合中心矩。 $k=l=1$ 的混合中心矩即协方差 $Cov(X,Y)$ 。

二、协方差矩阵

📖 定义：协方差矩阵 ▼

设二维随机变量 $(X, Y)$ 的二阶矩都存在，记

c 11 = E{[X-E(X)]²} = D(X)，c 22 = E{[Y-E(Y)]²} = D(Y) c 12 = c 21 = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} = Cov(X, Y)

称矩阵

Σ = [ c 11 c 12; c 21 c 22] = [ D(X) Cov(X,Y) ; Cov(Y,X) D(Y) ]

为 $(X, Y)$ 的协方差矩阵。它是对称半正定矩阵（ $c 12 =c 21$ ，且行列式 $|Σ| = D(X)D(Y) - Cov²(X,Y) \geq 0$ ，即柯西-施瓦茨不等式）。该矩阵在多元统计分析与数理统计中有重要应用。考研仅要求了解概念。

⚖️大数定律

大数定律描述了大量随机现象的平均结果具有稳定性——当试验次数足够多时，随机变量的算术平均值会稳定于其期望。这是概率论作为"频率稳定性"理论基础的体现。

一、切比雪夫不等式

定理：切比雪夫不等式 ▼

设随机变量 $X$ 的期望 $E(X)$ 与方差 $D(X)$ 都存在，则对任意 $ε > 0$ ，有

P{|X - E(X)| \geq ε} \leq D(X) / ε² 切比雪夫不等式

等价地（取对立事件）：

P{|X - E(X)| < ε} \geq 1 - D(X) / ε²

切比雪夫不等式给出了 X 偏离其期望 $ε$ 之外的概率的上界估计，它不需要知道 X 的具体分布，只需期望与方差，是一个非常"粗略但普适"的估计。

💡 切比雪夫不等式的应用

典型用法：已知 $E(X)$ 、 $D(X)$ ，估计 $P{|X-E(X)|\geqε}$ 的上界或 $P{|X-E(X)|<ε}$ 的下界。例如 $X~B(100,0.2)$ ， $EX=20, DX=16$ ，则 $P{|X-20|\geq10} \leq 16/100 = 0.16$ 。注意切比雪夫给出的是保守的上界，通常远大于真实概率（可用中心极限定理得到更精确的近似）。

二、切比雪夫大数定律

定理：切比雪夫大数定律 ▼

设 $X 1, X 2, \dots$ 是相互独立的随机变量序列，且 $E(X k) = μ k$ 、 $D(X k) \leq C$ （方差一致有界， $k=1,2,\dots$ ，C 为常数），则对任意 $ε>0$ ，有

lim n\to\infty P{ | (1/n)Σ k=1 n X k - (1/n)Σ k=1 n μ k | < ε } = 1

即：独立随机变量的算术平均值依概率收敛于其期望的算术平均值。条件是"独立"且"方差一致有界"。

三、辛钦大数定律

定理：辛钦大数定律 ▼

设 $X 1, X 2, \dots$ 是独立同分布的随机变量序列，且具有有限的数学期望 $E(X k) = μ$ （不要求方差存在），则对任意 $ε>0$ ，有

lim n\to\infty P{ | (1/n)Σ k=1 n X k - μ | < ε } = 1

即：独立同分布随机变量的算术平均值依概率收敛于共同的期望 $μ$ 。辛钦大数定律是数理统计中"用样本均值估计总体均值"的理论依据。

💡 辛钦大数定律的特点

辛钦大数定律只要求期望存在，不要求方差存在（相比切比雪夫大数定律少了"方差一致有界"的条件），但增加了"同分布"的要求。它是算术平均值稳定性的理论基础：当我们对同一量进行多次独立测量时，测量值的平均会稳定于真值。这也正是频率稳定性（伯努利大数定律）的一般情形——大数定律为"概率的频率定义"提供了严格的理论依据，是概率论公理化体系的基石之一。

四、伯努利大数定律

定理：伯努利大数定律 ▼

设 $f n$ 是 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数， $p$ 是每次试验中 A 发生的概率（ $0<p<1$ ），则对任意 $ε>0$ ，有

lim n\to\infty P{ | f n /n - p | < ε } = 1

即：事件 A 发生的频率依概率收敛于概率 $p$ 。它是辛钦大数定律（取 $X k$ 为第 k 次试验的指示变量， $E(X k)=p$ ）的特殊情形。

⚠️ 三大定律条件辨析（选择题易混点）

切比雪夫大数定律：要求独立、方差一致有界（可不同分布）；辛钦大数定律：要求独立同分布、期望存在（不要求方差）；伯努利大数定律：针对伯努利试验，频率收敛于概率。注意"依概率收敛"（记 $X n \to P X$ ）不同于"几乎处处收敛"，大数定律给出的是依概率收敛。三者都是 n→∞ 时的极限结论。

🎯中心极限定理

中心极限定理（CLT）揭示了一个深刻事实：大量独立随机变量的和（在适当标准化下）的分布近似于正态分布，无论各随机变量本身服从何种分布。这正是正态分布在概率统计中地位特殊、应用广泛的根本原因。

一、林德伯格-列维中心极限定理（独立同分布）

定理：林德伯格-列维中心极限定理 ▼

设 $X 1, X 2, \dots, X n, \dots$ 是独立同分布的随机变量序列，且 $E(X k) = μ$ 、 $D(X k) = σ² > 0$ （ $k=1,2,\dots$ ），则对任意实数 $x$ ，有

lim n\to\infty P{ ( Σ k=1 n X k - nμ ) / (σ\sqrtn) \leq x } = Φ(x) 独立同分布 CLT

其中 $Φ(x)$ 为标准正态分布的分布函数。结论的实用形式：当 n 较大时，和 $Y n = Σ X k$ 近似服从 $N(nμ, nσ²)$ ，即

Σ k=1 n X k ~ N(nμ, nσ²) （近似）

或等价地，算术平均 $(1/n)Σ X k ~ N(μ, σ²/n)$ （近似）。

二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

定理：棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 ▼

设 $Y n$ 服从参数为 $(n, p)$ 的二项分布 $B(n, p)$ （ $0<p<1$ ， $n=1,2,\dots$ ），则对任意实数 $x$ ，有

lim n\to\infty P{ ( Y n - np ) / \sqrt[np(1-p)] \leq x } = Φ(x) 二项分布 CLT

它是林德伯格-列维定理的特例（取 $X k$ 为第 k 次伯努利试验的指示变量，则 $Y n =Σ X k ~B(n,p)$ ， $μ=p, σ²=p(1-p)$ ）。实用形式：当 n 较大时，

Y n ~ N(np, np(1-p)) （近似）

即二项分布在 n 较大时可用正态分布近似。计算概率时常用 $Φ(-x) = 1 - Φ(x)$ 处理负值。

💡 中心极限定理的应用场景与解题步骤

典型应用：① 求独立同分布随机变量之和（或均值）落在某区间的概率；② 估算需要多少次试验才能以给定概率保证某事件（"至少需要 n 多大"的反问题，常见于供电、保险、抽样等背景题）。解题标准步骤：① 设 $X k$ ，写出 $μ=E(X), σ²=D(X)$ ；② 构造和 $Y=Σ X k$ ，算 $E(Y)=nμ, D(Y)=nσ², σ Y =σ\sqrtn$ ；③ 标准化 $Z=(Y-nμ)/(σ\sqrtn)~N(0,1)$ （近似）；④ 将所求概率转化为 $Φ$ 的形式查表。对于二项分布，直接用 $(Y n -np)/\sqrt(np(1-p))$ 标准化。

📌 二项分布的两种近似

二项分布 $B(n,p)$ 有两种常用近似：当 n 大、p 小（ $np$ 适中）时用泊松近似（ $B(n,p)\approxP(np)$ ）；当 n 大且 p 不太极端时用正态近似（中心极限定理， $B(n,p)\approxN(np, np(1-p))$ ）。考研中中心极限定理的正态近似是重点。计算时若涉及离散到连续的修正，可使用连续性修正（ $P{Y\leqk}\approxΦ((k+0.5-np)/\sqrt(np(1-p)))$ ），但多数真题按不修正处理，需依题意判断。

✏️典型例题

📝 例题1：期望与方差的计算

题目：设随机变量 X 的概率密度为

f(x) = { 2x，0 < x < 1；0，其他 }。

求：(1) E(X)，D(X)；(2) E(X²)，E(1/X)；(3) 设 Y = 3X + 2，求 E(Y)，D(Y)。

解答：

先验证规范性： $\int₀¹ 2x dx = [x²]₀¹ = 1 ✓$ 。

(1) 用定义求 E(X)：

$E(X) = \int₀¹ x\cdot2x dx = \int₀¹ 2x² dx = [2x³/3]₀¹ = 2/3$ 。

用公式 $D(X)=E(X²)-(EX)²$ ，需先求 $E(X²)$ ：

$E(X²) = \int₀¹ x²\cdot2x dx = \int₀¹ 2x³ dx = [2x⁴/4]₀¹ = 1/2$ 。

故 $D(X) = 1/2 - (2/3)² = 1/2 - 4/9 = 9/18 - 8/18 = 1/18$ 。

(2) E(X²) 在上一步已求得： $E(X²) = 1/2$ 。

用函数期望公式求 E(1/X)：

$E(1/X) = \int₀¹ (1/x)\cdot2x dx = \int₀¹ 2 dx = 2$ 。

(3) 由期望与方差的线性性质（无需独立条件，因为是同一个随机变量的线性函数）：

$E(Y) = E(3X+2) = 3\cdotE(X) + 2 = 3\cdot(2/3) + 2 = 4$ 。

$D(Y) = D(3X+2) = 3²\cdotD(X) = 9\cdot(1/18) = 1/2$ （加减常数不改变方差）。

小结：熟练运用 $D(X)=E(X²)-(EX)²$ 与线性性质 $E(aX+b)=aEX+b$ 、 $D(aX+b)=a²DX$ 是本题关键。

📝 例题2：协方差与相关系数的计算

题目：设 (X, Y) 的联合概率密度为

f(x, y) = { 2，0 < x < y < 1；0，其他 }。

求：(1) Cov(X, Y)；(2) ρ_XY；(3) D(X+Y)。

解答：

先验证规范性：非零区域为 $0<x<y<1$ （三角形）， $\int\int 2 dxdy = \int₀¹ \int₀ʸ 2 dx dy = \int₀¹ 2y dy = 1 ✓$ 。

求各阶矩（注意积分区域 $0<x<y<1$ ，即 x 从 0 到 y，y 从 0 到 1）：

$E(X) = \int₀¹ \int₀ʸ x\cdot2 dx dy = \int₀¹ [x²]₀ʸ dy = \int₀¹ y² dy = 1/3$ 。

$E(Y) = \int₀¹ \int₀ʸ y\cdot2 dx dy = \int₀¹ 2y\cdoty dy = \int₀¹ 2y² dy = 2/3$ 。

$E(X²) = \int₀¹ \int₀ʸ x²\cdot2 dx dy = \int₀¹ (2/3)y³ dy = (2/3)\cdot(1/4) = 1/6$ 。

$D(X) = 1/6 - (1/3)² = 1/6 - 1/9 = 3/18 - 2/18 = 1/18$ 。

$E(Y²) = \int₀¹ \int₀ʸ y²\cdot2 dx dy = \int₀¹ 2y²\cdoty dy = \int₀¹ 2y³ dy = 1/2$ 。

$D(Y) = 1/2 - (2/3)² = 1/2 - 4/9 = 9/18 - 8/18 = 1/18$ 。

$E(XY) = \int₀¹ \int₀ʸ xy\cdot2 dx dy = \int₀¹ 2y\cdot[x²/2]₀ʸ dy = \int₀¹ y³ dy = 1/4$ 。

(1) $Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 1/4 - (1/3)(2/3) = 1/4 - 2/9 = 9/36 - 8/36 = 1/36$ 。

(2) $ρ XY = Cov(X,Y)/\sqrt[D(X)\cdotD(Y)] = (1/36)/\sqrt[(1/18)(1/18)] = (1/36)/(1/18) = 1/2$ 。

(3) $D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) = 1/18 + 1/18 + 2\cdot(1/36) = 2/18 + 2/36 = 1/9 + 1/18 = 2/18 + 1/18 = 3/18 = 1/6$ 。

注：本题 X、Y 非独立（因联合密度非矩形区域、且 Cov≠0），故 D(X+Y) 不能直接等于 D(X)+D(Y)，必须加上 $2Cov$ 项。

📝 例题3：切比雪夫不等式的应用

题目：设 X ~ B(100, 0.2)。

(1) 用切比雪夫不等式估计 P{|X - E(X)| ≥ 10} 的上界；

(2) 用中心极限定理计算该概率的近似值，并与 (1) 比较。（已知 Φ(2.5) = 0.9938）

解答：

先求期望与方差：对二项分布 $B(n,p)$ ， $E(X)=np=100\times0.2=20$ ， $D(X)=np(1-p)=100\times0.2\times0.8=16$ ， $σ=\sqrt16=4$ 。

(1) 切比雪夫不等式（取 $ε=10$ ）：

$P{|X - 20| \geq 10} \leq D(X)/ε² = 16/100 = 0.16$ 。

(2) 中心极限定理：标准化 $Z=(X-20)/4 ~ N(0,1)$ （近似）：

$P{|X-20| \geq 10} = P{|(X-20)/4| \geq 10/4} = P{|Z| \geq 2.5}$ 。

$= 2\cdotP{Z \geq 2.5} = 2[1 - Φ(2.5)] = 2(1 - 0.9938) = 2\times0.0062 = 0.0124$ 。

比较：切比雪夫给出的上界 $0.16$ 远大于中心极限定理的近似值 $0.0124$ 。这说明切比雪夫不等式是一个非常保守（粗糙）的估计，它不利用分布信息，只给出宽泛的上界；而中心极限定理利用了二项分布的结构，给出精确得多的近似。考研中两者各有所用：前者用于"只知道期望方差"的估计，后者用于"已知分布类型"的近似计算。

📝 例题4：中心极限定理的应用

题目：某系统由 100 个相互独立工作的元件组成，每个元件正常工作的概率为 0.9。用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理求该系统至少有 85 个元件正常工作的概率的近似值。（已知 Φ(5/3) ≈ 0.9522）

解答：

设 100 个元件中正常工作的元件数为 $Y$ 。每个元件是否正常工作是一次伯努利试验，故 $Y ~ B(100, 0.9)$ 。

求期望与方差： $E(Y) = np = 100\times0.9 = 90$ ， $D(Y) = np(1-p) = 100\times0.9\times0.1 = 9$ ， $σ = \sqrt9 = 3$ 。

标准化（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理）： $Z = (Y - 90)/3 ~ N(0,1)$ （近似）。

计算概率：

$P{Y \geq 85} = P{(Y-90)/3 \geq (85-90)/3} = P{Z \geq -5/3}$ 。

利用 $Φ(-x) = 1 - Φ(x)$ ，即 $P{Z \geq -5/3} = P{Z \leq 5/3} = Φ(5/3)$ （标准正态对称性， $P{Z\geq-a}=Φ(a)$ ）。

故 $P{Y \geq 85} \approx Φ(5/3) \approx 0.9522$ 。

结论：该系统至少有 85 个元件正常工作的概率约为 $0.9522$ （即约 95.22%）。

小结：此类"n 个独立伯努利之和"的问题，先识别为二项分布，再用 $(Y-np)/\sqrt(np(1-p))$ 标准化转化为标准正态，最后利用 $Φ(-x)=1-Φ(x)$ 查表。若需"反求 n"（如供电量设计题），则令 $Φ(临界值)\geq给定概率$ 解不等式。

📝 自测练习

完成以下5道选择题，检验本章学习效果。每题作答后即时显示对错与解析。

1设 X ~ B(10, 0.4)，则 E(X²) =

A 16
B 18.4
C 2.4
D 6.4

解析：二项分布 B(n,p) 的 E(X)=np=10×0.4=4，D(X)=np(1-p)=10×0.4×0.6=2.4。由反推公式 E(X²)=D(X)+(E(X))²=2.4+16=18.4。常见错误：把 E(X²) 误当作 D(X)=2.4 (选C)，或误当作 (EX)²=16 (选A)。故选 B。

2设随机变量 X, Y 的相关系数为 ρ_XY，则下列结论正确的是：

A |ρ_XY| = 1 ⟺ X 与 Y 相互独立
B 若 ρ_XY = 0，则 X 与 Y 相互独立
C |ρ_XY| ≤ 1，且 |ρ_XY| = 1 ⟺ X 与 Y 以概率 1 线性相关
D ρ_XY > 0 表示 X 与 Y 相互独立

解析：相关系数 |ρ|≤1，|ρ|=1 当且仅当 X 与 Y 以概率 1 存在线性关系 Y=aX+b，故 C 正确。|ρ|=1 对应"完全线性相关"而非"独立"，A 错；ρ=0 仅表示"不相关"，不相关一般不蕴含独立（除非二维正态），B 错；ρ>0 表示正相关（非独立），D 错。故选 C。

3设 X ~ Exp(λ)（参数为 λ 的指数分布），则 E(X²) =

A 1/λ
B 1/λ²
C λ²
D 2/λ²

解析：指数分布 E(X)=1/λ，D(X)=1/λ²。由 E(X²)=D(X)+(E(X))²=1/λ²+(1/λ)²=1/λ²+1/λ²=2/λ²。常见错误：误以为 E(X²)=D(X)=1/λ² (选B)。故选 D。

4设随机变量 X 的期望 E(X)=μ，方差 D(X)=σ² 存在，则对任意 ε>0，切比雪夫不等式为：

A P{|X - μ| ≥ ε} ≤ σ²/ε²
B P{|X - μ| ≥ ε} ≤ σ²/ε
C P{|X - μ| ≥ ε} ≤ ε²/σ²
D P{|X - μ| ≥ ε} ≤ (σ²)²/ε²

解析：切比雪夫不等式为 P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²=σ²/ε²。注意分母是 ε²（不是 ε），分子是方差 σ²（不是标准差 σ，也不是方差平方）。故选 A。等价形式 P{|X-μ|<ε}≥1-σ²/ε²。

5设 X₁, X₂, …, X₅₀ 独立同分布，E(Xᵢ)=2，D(Xᵢ)=4。由中心极限定理，P{Σ_i=1⁵⁰ Xᵢ > 110} 的近似值为：（已知 Φ(0.707) ≈ 0.7602）

A 0.7602
B 0.5000
C 0.2398
D 0.1239

解析：设 Y=ΣXᵢ，E(Y)=50×2=100，D(Y)=50×4=200，σ_Y=√200≈14.14。标准化 Z=(Y-100)/√200~N(0,1)（近似）。P{Y>110}=P{Z>(110-100)/√200}=P{Z>10/14.14}=P{Z>0.707}=1-Φ(0.707)≈1-0.7602=0.2398。故选 C。常见错误：误把 σ_Y 当作 σ=2（漏乘√n），或忘记用 1-Φ。

📖 章节小结

数学期望是刻画随机变量取值中心的数字特征。离散型 $E(X)=Σx k p k$ ，连续型 $E(X)=\intxf(x)dx$ ，均要求绝对收敛。核心性质：E(X±Y)=E(X)±E(Y) 无需独立，但 E(XY)=E(X)E(Y) 必须独立。随机变量函数的期望可直接用原分布计算（无需先求 Y 的分布），这是简化计算的关键。
方差刻画离散程度，核心公式 $D(X)=E(X²)-(E(X))²$ 。性质：D(C)=0、D(CX)=C²DX、D(X+C)=DX、D(aX+b)=a²DX。和差方差通用公式 $D(X\pmY)=D(X)+D(Y)\pm2Cov(X,Y)$ ，独立时简化为 $D(X\pmY)=D(X)+D(Y)$ （注意 X-Y 也是相加！）。标准化变量 $X*=(X-μ)/σ$ 满足 E=0, D=1。
常见分布期望与方差必须熟记：0-1(分布)得 p, p(1-p)；二项 B(n,p) 得 np, np(1-p)；泊松 P(λ) 得 λ, λ（期望=方差是泊松的标志）；几何 Ge(p) 得 1/p, (1-p)/p²；均匀 U(a,b) 得 (a+b)/2, (b-a)²/12；指数 Exp(λ) 得 1/λ, 1/λ²；正态 N(μ,σ²) 得 μ, σ²。快捷公式 $E(X²)=D(X)+(E(X))²$ 常用于填空题。
协方差 $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ ，刻画线性关联；相关系数 $ρ=Cov/\sqrt(DX\cdotDY)$ 是无量纲量，满足 $|ρ|\leq1$ ， $|ρ|=1 ⟺ 以概率 1 线性相关$ 。柯西-施瓦茨不等式 $Cov²\leqD(X)D(Y)$ 保证 |ρ|≤1。
"不相关"与"独立"是本章最重要的辨析：独立 ⟹ 不相关恒成立，但反之不成立。不相关等价于 Cov=0、ρ=0、E(XY)=E(X)E(Y)、D(X±Y)=D(X)+D(Y)（四者等价）。唯一例外：二维正态分布下"不相关 ⟺ 独立"。反例：X~N(0,1), Y=X² 则不相关但不独立。
矩与协方差矩阵：k 阶原点矩 $ν k =E(X k)$ （ν₁=EX），k 阶中心矩 $μ k =E[(X-EX) k]$ （μ₁=0, μ₂=DX）。协方差矩阵是对称半正定矩阵，考研仅要求了解。
大数定律描述"平均值/频率的稳定性"：切比雪夫不等式 $P{|X-EX|\geqε}\leqDX/ε²$ （不需分布，保守上界）；切比雪夫大数定律（独立+方差一致有界）、辛钦大数定律（独立同分布+期望存在，不要求方差，是样本均值估计总体均值的理论依据）、伯努利大数定律（频率依概率收敛于概率，是频率定义概率的理论基础）。
中心极限定理描述"和的分布趋于正态"：林德伯格-列维（独立同分布，和 $ΣX k ~N(nμ,nσ²)$ 近似）、棣莫弗-拉普拉斯（二项 $B(n,p)~N(np,np(1-p))$ 近似）。解题步骤：设变量→求 nμ, nσ², σ√n→标准化为 N(0,1)→用 $Φ(-x)=1-Φ(x)$ 查表。
备考建议：本章重点训练四类题型——期望与方差计算（含函数期望，必考）、协方差与相关系数综合计算（高频解答题，注意 E(XY) 必须独立才能拆）、切比雪夫不等式估算概率上界、中心极限定理近似计算概率（含反求 n）。解题主线：能用性质先性质、不能用定义积分；独立性不明时一律用协方差通用公式；极限定理先标准化再查表。

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数理统计基本概念与参数估计