第二章

一元函数微分学

导数、微分与中值定理——微积分的核心工具

高等数学约15% 重点章节

学习进度

本章目录

考纲要求
导数的概念
求导法则与基本公式
高阶导数
微分
微分中值定理
洛必达法则
泰勒公式
导数的应用

📋考纲要求

一元函数微分学是考研数学的重点考查内容，涉及导数与微分的概念、计算方法、中值定理及导数的应用。下表列出本章在考研数学一中的具体要求。

知识点	考纲要求	考查频度
导数和微分的概念	理解导数与微分的概念，理解导数与连续的关系	高频
导数的几何意义与物理意义	理解导数的几何意义（切线斜率）与物理意义，会求平面曲线的切线与法线	高频
求导法则	掌握基本初等函数的导数公式、四则运算法则、复合函数求导、隐函数与参数方程求导	高频
高阶导数	了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数，掌握莱布尼茨公式	中频
微分中值定理	理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理	极高频（证明题）
洛必达法则	掌握用洛必达法则求未定式极限的方法	高频
泰勒公式	理解泰勒公式，掌握常见函数的麦克劳林展开式及其应用	高频
函数的单调性与极值	掌握函数单调性的判别法，掌握函数极值与最值的求法	高频
曲线的凹凸性与拐点	会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点与渐近线	高频

📌 命题趋势

本章是考研数学的核心章节之一，中值定理证明题几乎是每年必考的解答题，导数应用与极限计算结合考查也非常频繁。建议在掌握基本概念与公式的基础上，重点训练中值定理的证明思路与泰勒公式的灵活运用。

①导数的概念

2.1 导数的定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x₀$ 的某邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x₀$ 处取得增量 $Δx$ （点 $x₀ + Δx$ 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量 $Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀)$ 。如果当 $Δx \to 0$ 时，两个增量之比的极限

f'(x₀) = lim Δx \to 0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x₀$ 处可导，并称此极限值为 $f(x)$ 在点 $x₀$ 处的导数，记作

f'(x₀) ， 或 y'| x = x₀ ， 或 dy/dx| x = x₀

导数的另一种等价定义形式（令 $x = x₀ + Δx$ ）为：

f'(x₀) = lim x \to x₀ [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)

💡 解题技巧

在利用导数定义求极限或判断可导性时，常需凑出定义式的结构。凡能凑成 $lim [f(□) - f(x₀)] / (□ - x₀)$ 且 $□ \to x₀$ 的形式，其极限即为 $f'(x₀)$ 。

2.2 导数的几何意义与物理意义

几何意义：函数 $y = f(x)$ 在点 $x₀$ 处的导数 $f'(x₀)$ ，在几何上表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x₀, f(x₀))$ 处切线的斜率，即 $k = f'(x₀) = tan α$ ，其中 $α$ 为切线倾角。

相应地，曲线在该点的切线方程为：

y - f(x₀) = f'(x₀) (x - x₀)

当 $f'(x₀) \neq 0$ 时，法线方程为：

y - f(x₀) = -1 / f'(x₀) \cdot (x - x₀)

物理意义：导数表示瞬时变化率。例如，质点运动方程 $s = s(t)$ 的导数 $s'(t)$ 表示 $t$ 时刻的瞬时速度，二阶导数 $s''(t)$ 表示瞬时加速度。

2.3 左导数与右导数

如果极限

f' - (x₀) = lim x \to x₀⁻ [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀) f' + (x₀) = lim x \to x₀⁺ [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)

分别存在，则称其为 $f(x)$ 在 $x₀$ 处的左导数与右导数。函数在一点可导的充要条件是左右导数都存在且相等：

f(x₀) 可导 ⟺ f' - (x₀) = f' + (x₀)

2.4 可导与连续的关系

📐 定理：可导与连续的关系 ▼

定理：若函数 $f(x)$ 在点 $x₀$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x₀$ 处必连续。

证明思路：由 $f(x) - f(x₀) = [(f(x) - f(x₀))/(x - x₀)] \cdot (x - x₀)$ ，当 $x \to x₀$ 时，前一项趋于 $f'(x₀)$ ，后一项趋于 $0$ ，故 $lim f(x) = f(x₀)$ ，即连续。

注：反之不成立，即连续不一定可导。经典反例： $y = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续，但左导数为 $-1$ 、右导数为 $1$ ，左右导数不等，故不可导。

结论：可导 ⟹ 连续，但连续 ⇏ 可导。三者关系：可导 ⟹ 连续 ⟹ 有极限，逆命题均不成立。

⚠️ 易错提示

判断分段函数在分段点处的可导性时，必须分别计算左导数与右导数，不能直接对分段表达式求导。同时要注意，分段点处函数值是否等于左右极限，以先判断连续性。

②求导法则与基本公式

3.1 导数的四则运算法则

设 $u = u(x)$ 、 $v = v(x)$ 均可导，则：

(u \pm v)' = u' \pm v' (u \cdot v)' = u'v + uv' （特别地 (Cu)' = Cu'，C 为常数） (u / v)' = (u'v - uv') / v² （v \neq 0）

3.2 反函数求导法则

若函数 $x = f(y)$ 在某区间内单调、可导且 $f'(y) \neq 0$ ，则其反函数 $y = f⁻¹(x)$ 也可导，且：

[f⁻¹(x)]' = 1 / f'(y) = dx/dy 的倒数，即 dy/dx = 1 / (dx/dy)

3.3 复合函数求导（链式法则）

设 $y = f(u)$ ， $u = g(x)$ ，且 $f$ 与 $g$ 均可导，则复合函数 $y = f[g(x)]$ 的导数为：

dy/dx = f'(u) \cdot g'(x) = dy/du \cdot du/dx

链式法则可推广到多层复合：若 $y = f{φ[ψ(x)]}$ ，则 $y' = f'(φ) \cdot φ'(ψ) \cdot ψ'(x)$ 。

💡 复合求导要领

复合函数求导的关键是"由外向内、逐层求导、不重不漏"。每求一层就把该层看作一个整体，最后将各层导数相乘。务必检查是否漏掉了内层函数的导数。

3.4 隐函数求导法

设方程 $F(x, y) = 0$ 确定了 $y$ 是 $x$ 的函数。求导时，在方程两边同时对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数（遇 $y$ 的函数需用链式法则），然后解出 $y'$ 。

例：x² + y² = R² ⟹ 2x + 2y \cdot y' = 0 ⟹ y' = -x / y

3.5 参数方程确定的函数求导

设 $y$ 与 $x$ 的函数关系由参数方程 $x = φ(t)，y = ψ(t)$ 给出，且 $φ(t)$ 、 $ψ(t)$ 可导， $φ'(t) \neq 0$ ，则：

dy/dx = ψ'(t) / φ'(t)

二阶导数为： $d²y/dx² = d(dy/dx)/dx = [d(ψ'/φ')/dt] / φ'(t)$ ，注意分母是对 $x$ 再求一次导，必须除以 $φ'(t)$ 。

3.6 对数求导法

对形如 $u(x) v(x)$ 的幂指函数或多个因子连乘除、乘开方的函数，可先取对数再求导，能简化运算。

3.7 基本求导公式表

原函数 f(x)	导数 f'(x)	原函数 f(x)	导数 f'(x)
C（常数）	0	x^μ	μ x^μ−1
a^x	a^x ln a	e^x	e^x
log_a x	1 / (x ln a)	ln x	1 / x
sin x	cos x	cos x	−sin x
tan x	sec² x	cot x	−csc² x
sec x	sec x · tan x	csc x	−csc x · cot x
arcsin x	1 / √(1 − x²)	arccos x	−1 / √(1 − x²)
arctan x	1 / (1 + x²)	arccot x	−1 / (1 + x²)
sh x（双曲正弦）	ch x	ch x（双曲余弦）	sh x

③高阶导数

4.1 高阶导数的概念

函数 $y = f(x)$ 的导数 $y' = f'(x)$ 仍是 $x$ 的函数，若 $f'(x)$ 仍可导，则其导数称为 $f(x)$ 的二阶导数，记作 $y''$ 或 $d²y/dx²$ 。一般地， $n$ 阶导数为 $n-1$ 阶导数的导数：

y (n) = [f (n-1) (x)]' ，或 d n y / dx n

4.2 常见函数的高阶导数

(e x) (n) = e x (sin x) (n) = sin(x + nπ/2) (cos x) (n) = cos(x + nπ/2) (x m) (n) = m(m-1)\cdot\cdot\cdot(m-n+1) x m-n [ln(1+x)] (n) = (-1) n-1 (n-1)! / (1+x) n

4.3 莱布尼茨公式

若 $u(x)$ 与 $v(x)$ 均有 $n$ 阶导数，则它们的乘积的 $n$ 阶导数满足莱布尼茨公式，类似于二项式定理：

(uv) (n) = Σ k=0 n C n k \cdot u (k) \cdot v (n-k)

其中 $C n k = n! / [k! (n-k)!]$ 为组合数，并约定 $u (0) = u$ ， $v (0) = v$ 。

📌 应用要点

莱布尼茨公式常用于求乘积形式的高阶导数。当其中一个函数为多项式（如 $x²$ 、 $x³$ ）时，高于其次数的导数全为零，求和只需取有限项，可大大简化计算。

④微分

5.1 微分的定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x₀$ 处有增量 $Δx$ ，如果函数增量 $Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀)$ 可表示为：

Δy = A \cdot Δx + o(Δx)

其中 $A$ 是与 $Δx$ 无关的常数，则称 $f(x)$ 在 $x₀$ 处可微，称 $A \cdot Δx$ 为函数在 $x₀$ 处的微分，记作 $dy$ 。

可微与可导的关系：函数在一点可微的充要条件是函数在该点可导，且 $A = f'(x₀)$ 。因此：

dy = f'(x) dx

即导数 $f'(x) = dy/dx$ 可看作微分之商，故导数又称"微商"。

5.2 微分的运算法则

由于 $dy = f'(x) dx$ ，微分的运算只需将导数乘以 $dx$ 。基本微分公式与求导公式一一对应，并有微分形式的不变性：

dy = f'(u) du （无论 u 是自变量还是中间变量，形式不变）

四则运算：d(u ± v) = du ± dv；d(uv) = v du + u dv；d(u/v) = (v du − u dv) / v²。

5.3 微分在近似计算中的应用

当 $|Δx|$ 很小时，用微分近似代替函数增量：

Δy \approx dy = f'(x₀) \cdot Δx f(x₀ + Δx) \approx f(x₀) + f'(x₀) \cdot Δx

取 $x₀ = 0$ ， $Δx = x$ （|x| 很小），可得常用近似公式：

(1 + x) α \approx 1 + αx e x \approx 1 + x， ln(1 + x) \approx x， sin x \approx x， tan x \approx x

⑤微分中值定理

微分中值定理是联系函数值与导数值的桥梁，是微积分中证明各类命题的有力工具，也是考研证明题的核心考点。三个定理层层递进，罗尔定理是拉格朗日定理的特例，拉格朗日定理又是柯西定理的特例。

📐 罗尔（Rolle）定理 ▼

定理内容：若函数 $f(x)$ 满足：① 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；② 在开区间 $(a, b)$ 内可导；③ $f(a) = f(b)$ ，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $ξ$ ，使得：

f'(ξ) = 0 ， a < ξ < b

几何意义：在满足条件的曲线上，至少有一条水平切线（切线平行于 $x$ 轴）。

证明思路：由闭区间上连续函数的最值定理， $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取得最大值 $M$ 与最小值 $m$ 。若 $M = m$ ，则 $f(x)$ 为常数， $f'(ξ) = 0$ 显然成立；若 $M \neq m$ ，由 $f(a) = f(b)$ 知最值至少有一个在内部取得，设 $f(ξ) = M$ （ $ξ \in (a,b)$ ），由费马引理得 $f'(ξ) = 0$ 。

📐 拉格朗日（Lagrange）中值定理 ▼

定理内容：若函数 $f(x)$ 满足：① 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；② 在开区间 $(a, b)$ 内可导，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $ξ$ ，使得：

f(b) - f(a) = f'(ξ) (b - a) ， a < ξ < b

或写作： $[f(b) - f(a)] / (b - a) = f'(ξ)$ 。

几何意义：曲线上至少有一点处的切线，平行于连接两端点的弦。

证明思路：构造辅助函数 $φ(x) = f(x) - f(a) - [(f(b) - f(a))/(b - a)] \cdot (x - a)$ ，验证其满足罗尔定理三条件，则存在 $ξ$ 使 $φ'(ξ) = 0$ ，整理即得结论。

重要推论：若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导且 $f'(x) \equiv 0$ ，则 $f(x)$ 在 $I$ 上为常数。由此可证明 $arcsin x + arccos x = π/2$ 等恒等式。

📐 柯西（Cauchy）中值定理 ▼

定理内容：若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足：① 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；② 在开区间 $(a, b)$ 内可导；③ 对任意 $x \in (a, b)$ 有 $g'(x) \neq 0$ ，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $ξ$ ，使得：

[f(b) - f(a)] / [g(b) - g(a)] = f'(ξ) / g'(ξ) ， a < ξ < b

证明思路：构造辅助函数 $φ(x) = [f(b) - f(a)] \cdot g(x) - [g(b) - g(a)] \cdot f(x)$ ，由 $g'(x) \neq 0$ 知 $g(b) \neq g(a)$ ，对 $φ(x)$ 用罗尔定理即得。

注：取 $g(x) = x$ ，柯西定理即退化为拉格朗日定理；再附加 $f(a) = f(b)$ ，则退化为罗尔定理。三者关系为：罗尔 ⊂ 拉格朗日 ⊂ 柯西。

💡 中值定理证明题技巧

1. 构造辅助函数是核心。常见思路：结论含 $f'(ξ)$ 与 $f(ξ)$ 的组合时，考虑构造形如 $F(x) = e \pmx f(x)$ 的辅助函数；涉及两个函数比值时考虑柯西定理。

2. 若区间两端点函数值已知或可凑相等，优先尝试罗尔定理。

3. 涉及两个不同函数的增量之比，常选用柯西中值定理。

⑥洛必达法则

洛必达法则是求 $0/0$ 型和 $\infty/\infty$ 型未定式极限的有效方法，其核心是将函数之比的极限转化为导数之比的极限。

7.1 0/0 型未定式

设 $lim f(x) = 0$ ， $lim g(x) = 0$ （ $x \to x₀$ 或 $x \to \infty$ ），若 $f$ 、 $g$ 在去心邻域内可导且 $g'(x) \neq 0$ ，且 $lim f'(x)/g'(x)$ 存在或为无穷，则：

lim f(x) / g(x) = lim f'(x) / g'(x)

7.2 ∞/∞ 型未定式

当 $lim f(x) = \infty$ ， $lim g(x) = \infty$ 时，在相应条件下，同样有：

lim f(x) / g(x) = lim f'(x) / g'(x)

7.3 其他未定式的转化

其他类型的未定式需先转化为 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型，再使用洛必达法则：

0 \cdot \infty 型 ⟹ 转化为 0/0 或 \infty/\infty 型（取倒数） \infty - \infty 型 ⟹ 通分或分子有理化转化为 0/0 型 1 \infty 、0 0 、\infty 0 型 ⟹ 取对数转化为 0 \cdot \infty 型

对于 $1 \infty$ 型，常用重要极限 $lim (1 + u) 1/u = e$ （ $u \to 0$ ）或取对数处理。

⚠️ 洛必达法则使用条件

1. 必须先验证属于 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型，否则不能直接使用，否则会得到错误结果。

2. 若 $lim f'(x)/g'(x)$ 不存在（且不为无穷），不能断言原极限不存在，需换用其他方法（如等价无穷小、泰勒展开等）。

3. 若一次使用后仍为未定式，可连续使用，但每一步都要验证类型。同时应配合等价无穷小替换、恒等变形简化运算，避免求导过于复杂。

4. 注意数列极限不能直接用洛必达法则，需先转化为函数极限（海涅定理）。

⑦泰勒公式

泰勒公式用多项式逼近函数，是微积分中最重要的展开工具，在极限计算、不等式证明及近似计算中有广泛应用。

8.1 泰勒中值定理

设函数 $f(x)$ 在点 $x₀$ 的某邻域内具有 $n + 1$ 阶导数，则对该邻域内任一点 $x$ ，有：

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + f''(x₀)/2! \cdot (x - x₀)² + \cdot\cdot\cdot + f (n) (x₀)/n! \cdot (x - x₀) n + R n (x)

其中 $R n (x)$ 为余项。常用的两种余项形式：

佩亚诺（Peano）余项： $R n (x) = o[(x - x₀) n]$ ，用于极限计算与定性分析。
拉格朗日余项： $R n (x) = f (n+1) (ξ)/(n+1)! \cdot (x - x₀) n+1$ （ $ξ$ 介于 $x₀$ 与 $x$ 之间），用于误差估计与不等式证明。

8.2 麦克劳林公式

当 $x₀ = 0$ 时，泰勒公式称为麦克劳林公式：

f(x) = f(0) + f'(0) x + f''(0)/2! \cdot x² + \cdot\cdot\cdot + f (n) (0)/n! \cdot x n + R n (x)

8.3 常用函数的麦克劳林展开式

函数	麦克劳林展开式（佩亚诺余项）
e^x	1 + x + x²/2! + x³/3! + ··· + xⁿ/n! + o(xⁿ)
sin x	x − x³/3! + x⁵/5! − ··· + (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)! + o(x²ⁿ⁺²)
cos x	1 − x²/2! + x⁴/4! − ··· + (−1)ⁿ x²ⁿ/(2n)! + o(x²ⁿ⁺¹)
ln(1 + x)	x − x²/2 + x³/3 − ··· + (−1)ⁿ⁻¹ xⁿ/n + o(xⁿ)
1 / (1 − x)	1 + x + x² + ··· + xⁿ + o(xⁿ) （\|x\| < 1）
1 / (1 + x)	1 − x + x² − ··· + (−1)ⁿ xⁿ + o(xⁿ) （\|x\| < 1）
(1 + x)^α	1 + αx + α(α−1)/2! · x² + ··· + α(α−1)···(α−n+1)/n! · xⁿ + o(xⁿ)
arctan x	x − x³/3 + x⁵/5 − ··· + (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1) + o(x²ⁿ⁺²)

💡 泰勒公式的应用技巧

1. 求极限：当洛必达法则计算繁琐或为幂指型未定式时，用泰勒展开到分子分母同阶（"上下同阶"原则）往往更简洁。务必展开到使分子最低次项不为零的阶数。

2. 证明不等式：将函数展开为带有拉格朗日余项的泰勒公式，通过估计余项正负或放缩来证明。

3. 记忆技巧：sin、arctan 展开式只含奇次幂，cos 只含偶次幂，注意正负号规律。

⑧导数的应用

9.1 函数的单调性

设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导：

若在 $(a, b)$ 内 $f'(x) > 0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调增加；
若在 $(a, b)$ 内 $f'(x) < 0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调减少。

若 $f'(x)$ 在某区间内恒大于等于零且使 $f'(x) = 0$ 的点不构成区间，则 $f(x)$ 仍单调不减。单调性是证明不等式的重要工具。

9.2 函数的极值及其求法

极值的必要条件（费马引理）：若 $f(x)$ 在 $x₀$ 处可导且取得极值，则 $f'(x₀) = 0$ 。使导数为零的点称为驻点。极值点必为驻点或不可导点，但驻点未必是极值点。

极值的第一充分条件：设 $f(x)$ 在 $x₀$ 处连续且在 $x₀$ 的某去心邻域内可导：

若 $x < x₀$ 时 $f'(x) > 0$ ， $x > x₀$ 时 $f'(x) < 0$ ，则 $f(x₀)$ 为极大值；
若 $x < x₀$ 时 $f'(x) < 0$ ， $x > x₀$ 时 $f'(x) > 0$ ，则 $f(x₀)$ 为极小值；
若 $f'(x)$ 在 $x₀$ 两侧同号，则 $x₀$ 不是极值点。

极值的第二充分条件：设 $f(x)$ 在 $x₀$ 处二阶可导且 $f'(x₀) = 0$ ：

若 $f''(x₀) < 0$ ，则 $f(x₀)$ 为极大值；
若 $f''(x₀) > 0$ ，则 $f(x₀)$ 为极小值；
若 $f''(x₀) = 0$ ，则无法判定，需用第一充分条件。

9.3 函数的最大值与最小值

求连续函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上最值的步骤：

求出 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的全部驻点与不可导点；
计算这些点及端点 $a$ 、 $b$ 处的函数值；
比较大小，最大者为最大值，最小者为最小值。

若连续函数在某区间内仅有唯一极值点，则该极值即为相应最值（实际问题常如此）。

9.4 曲线的凹凸性与拐点

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导：

若 $f''(x) > 0$ ，则曲线 $y = f(x)$ 在 $[a, b]$ 上是凹的（开口向上）；
若 $f''(x) < 0$ ，则曲线是凸的（开口向下）。

拐点：连续曲线上凹凸性发生改变的点称为拐点。若 $(x₀, f(x₀))$ 为拐点且 $f''(x₀)$ 存在，则 $f''(x₀) = 0$ 。判定拐点需看 $f''(x)$ 在 $x₀$ 两侧是否变号。

9.5 渐近线

水平渐近线：若 $lim x\to\infty f(x) = b$ ，则 $y = b$ 为水平渐近线。
铅直（垂直）渐近线：若 $lim x\tox₀ f(x) = \infty$ ，则 $x = x₀$ 为铅直渐近线（常在无穷间断点处）。
斜渐近线：若 $a = lim x\to\infty f(x)/x$ 且 $b = lim x\to\infty [f(x) - ax]$ 均存在（ $a \neq 0$ ），则 $y = ax + b$ 为斜渐近线。

9.6 函数作图

利用导数描绘函数图形的一般步骤：① 确定定义域、奇偶性、周期性；② 求一阶导数确定单调区间与极值；③ 求二阶导数确定凹凸区间与拐点；④ 求渐近线；⑤ 描点连线作图。

💡 导数应用解题技巧

1. 证明不等式常用"单调性法"（构造函数研究单调性）或"最值法"（证某量恒大于等于某值）。

2. 证明含有 $f'(ξ)$ 与端点值的不等式，常借助拉格朗日中值定理或泰勒公式。

3. 求极值时先列驻点和不可导点，再用第二充分条件快速判定；遇到 $f''(x₀) = 0$ 时退回第一充分条件。

4. 讨论方程根的个数，常转化为研究函数的极值与零点分布（结合零点定理）。

✏️典型例题

例题 1 ｜中值定理证明题（柯西定理应用）

题目：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导（ $0 < a < b$ ），证明：存在 $ξ \in (a, b)$ ，使得

2ξ [f(b) - f(a)] = (b² - a²) f'(ξ)

解答：

结论变形为： $[f(b) - f(a)] / (b² - a²) = f'(ξ) / (2ξ)$ 。

右端分母 $2ξ$ 恰为 $g(x) = x²$ 的导数 $g'(x) = 2x$ 在 $ξ$ 处的值，提示对 $f(x)$ 与 $g(x) = x²$ 应用柯西中值定理。

验证条件：① $f(x)$ 、 $x²$ 在 $[a, b]$ 上连续；② 在 $(a, b)$ 内可导；③ $g'(x) = 2x \neq 0$ （因 $a > 0$ ）。三条件满足。

由柯西中值定理，存在 $ξ \in (a, b)$ ，使：

[f(b) - f(a)] / (b² - a²) = f'(ξ) / (2ξ)

两边同乘 $(b² - a²) \cdot 2ξ$ 即得 $2ξ [f(b) - f(a)] = (b² - a²) f'(ξ)$ ，证毕。

例题 2 ｜洛必达法则求极限

题目：求极限 $lim x \to 0 (x - sin x) / x³$ 。

解答：

当 $x \to 0$ 时， $x - sin x \to 0$ ， $x³ \to 0$ ，属 $0/0$ 型，可使用洛必达法则。

方法一（洛必达法则）：

lim (x - sin x) / x³ = lim (1 - cos x) / (3x²)

仍为 $0/0$ 型，再用洛必达法则：

= lim sin x / (6x) = (1/6) \cdot lim (sin x / x) = 1/6 \cdot 1 = 1/6

方法二（泰勒展开）：由 $sin x = x - x³/6 + o(x³)$ ，得：

x - sin x = x - [x - x³/6 + o(x³)] = x³/6 - o(x³) \sim x³/6

故 $lim (x - sin x)/x³ = lim (x³/6)/x³ = 1/6$ 。

两种方法结果一致，极限为 1/6。泰勒展开法在此类题目中往往更简洁。

例题 3 ｜泰勒展开应用（求极限）

题目：求极限 $lim x \to 0 [e x - 1 - x - x²/2] / x³$ 。

解答：

这是 $0/0$ 型。注意到分子、分母最低阶的幂次关系，宜用泰勒展开（"上下同阶"原则，分母为 $x³$ ，故分子展开到 $x³$ 项）。

由 $e x$ 的麦克劳林展开：

e x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + o(x³) = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³)

代入分子：

e x - 1 - x - x²/2 = [1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³)] - 1 - x - x²/2 = x³/6 + o(x³)

因此：

lim x \to 0 [e x - 1 - x - x²/2] / x³ = lim (x³/6 + o(x³)) / x³ = 1/6

极限为 1/6。注意：若展开阶数不足（如只展开到 $x²$ ），会得到分子为零的错误结论，必须展开到使分子非零的最低阶。

例题 4 ｜极值与凹凸性问题

题目：求函数 $f(x) = x³ - 3x + 1$ 的极值、单调区间及拐点。

解答：

① 求一阶导数： $f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$ 。

令 $f'(x) = 0$ 得驻点 $x = -1$ 、 $x = 1$ ，将定义域分为三段：

x < -1：f'(x) > 0，单调递增 -1 < x < 1：f'(x) < 0，单调递减 x > 1：f'(x) > 0，单调递增

② 求二阶导数： $f''(x) = 6x$ 。用第二充分条件判定极值：

f''(-1) = -6 < 0 ⟹ x = -1 为极大值点，极大值 f(-1) = (-1)³ - 3(-1) + 1 = 3 f''(1) = 6 > 0 ⟹ x = 1 为极小值点，极小值 f(1) = 1³ - 3\cdot1 + 1 = -1

③ 求拐点：令 $f''(x) = 6x = 0$ 得 $x = 0$ 。

当 $x < 0$ 时 $f''(x) < 0$ （凸）；当 $x > 0$ 时 $f''(x) > 0$ （凹）。二阶导数在 $x = 0$ 两侧变号，故 $(0, f(0)) = (0, 1)$ 为拐点。

结论：极大值为 $3$ （在 $x = -1$ 处），极小值为 $-1$ （在 $x = 1$ 处）；单调递增区间为 $(-\infty, -1)$ 与 $(1, +\infty)$ ，单调递减区间为 $(-1, 1)$ ；拐点为 $(0, 1)$ 。

🎯 自测练习

完成以下 5 道选择题，检验对本章知识的掌握情况。作答后即时显示对错与解析。

第 1 题设 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导且 $f(0) = 0$ ，则 $lim x \to 0 f(sin x) / x$ 等于：

A0
Bf'(0)
C不存在
D1

解析：f(sin x)/x = [f(sin x) − f(0)]/(sin x − 0) · (sin x)/x，当 x→0 时 sin x→0，前一项趋于 f'(0)，后一项趋于 1，故极限为 f'(0)。正确答案：B

第 2 题函数 $f(x) = x²$ 在区间 $[1, 2]$ 上满足拉格朗日中值定理的点 $ξ$ 为：

A1
B3/2
C2
D5/2

解析：f(2)−f(1) = 4−1 = 3，f'(x) = 2x，由 f'(ξ)(2−1) = 3 得 2ξ = 3，ξ = 3/2 ∈ (1,2)。正确答案：B

第 3 题极限 $lim x \to 0 (1 - cos x) / x²$ 的值为：

A0
B1
C1/2
D不存在

解析：属 0/0 型，用洛必达法则：lim (sin x)/(2x) = 1/2。或用等价无穷小 1−cos x ∼ x²/2，故极限为 1/2。正确答案：C

第 4 题函数 $e x$ 的麦克劳林展开式为：

AΣ_n=0^∞ xⁿ / n!
BΣ_n=0^∞ (−1)ⁿ x²ⁿ / (2n)!
CΣ_n=0^∞ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ / (2n+1)!
DΣ_n=1^∞ xⁿ / n

解析：e^x = 1 + x + x²/2! + ··· + x^n/n! + ··· = Σ x^n/n!（n 从 0 开始）。选项 B 是 cos x，选项 C 是 sin x，选项 D 是 −ln(1−x)。正确答案：A

第 5 题函数 $f(x) = x³ - 3x$ 的极大值为：

A2
B−2
C0
D3

解析：f'(x) = 3x²−3 = 0 得 x=±1；f''(x) = 6x。f''(−1) = −6 < 0，故 x=−1 为极大值点，极大值 f(−1) = −1 + 3 = 2。正确答案：A

📝 本章小结

导数与微分的概念：导数是增量比的极限，表示变化率；微分是函数增量的线性主部。可导 ⟺ 可微，且可导必连续、连续不一定可导。
求导方法：掌握四则运算法则、链式法则、反函数与隐函数、参数方程求导，以及对数求导法。熟记基本求导公式表是基础。
高阶导数：记住 sin、cos、e^x、ln(1+x) 等的高阶导数通项，掌握莱布尼茨公式处理乘积高阶导数。
三大中值定理：罗尔（f(a)=f(b)）、拉格朗日（一般情形）、柯西（两个函数）层层递进，是证明题核心。关键在于构造合适的辅助函数。
洛必达法则：仅适用于 0/0 和 ∞/∞ 型，使用前必须验证；其他未定式需先转化。可与等价无穷小、泰勒展开配合使用。
泰勒公式：用多项式逼近函数，佩亚诺余项用于求极限，拉格朗日余项用于估计与证明不等式。牢记常用麦克劳林展开式。
导数应用：一阶导数判单调与极值，二阶导数判凹凸与拐点；最值在驻点、不可导点及端点中比较；渐近线分水平、铅直、斜三种。

← 上一章

函数、极限与连续

一元函数积分学