函数、极限与连续
微积分的基石——从函数到极限的完整知识体系
考纲要求
本章是高等数学的基础章节，也是整个微积分体系的起点。考研数学一考试大纲对本章的要求如下表所示，要求层次分为“理解”“了解”“掌握”“会”四个等级。
| 知识点 | 要求层次 | 说明 |
|---|---|---|
| 函数的概念及表示法 | 理解 | 掌握定义域、对应法则 |
| 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性 | 掌握 | 会判断与证明 |
| 复合函数、反函数、分段函数、隐函数 | 理解 | 会求复合与反函数 |
| 初等函数的概念 | 了解 | 基本初等函数性质 |
| 数列极限与函数极限的概念 | 理解 | ε-N、ε-δ 语言 |
| 函数左极限与右极限 | 理解 | 极限存在的充要条件 |
| 无穷小与无穷大的概念及关系 | 理解 | 无穷小的比较 |
| 极限的性质及四则运算法则 | 掌握 | 熟练计算极限 |
| 极限存在的两个准则（夹逼、单调有界） | 掌握 | 会用准则求极限 |
| 两个重要极限 | 掌握 | 灵活应用 |
| 函数连续性的概念 | 理解 | 左连续、右连续 |
| 间断点的类型 | 会 | 第一类、第二类 |
| 闭区间上连续函数的性质 | 了解 | 最值、有界、零点、介值 |
本章是每年必考内容，多以选择题、填空题形式考查极限计算与等价无穷小替换，也常在解答题中结合后续章节（如导数、级数）出现。重点得分点：极限计算、等价无穷小、间断点分类。
函数的基本概念
1. 函数的定义
设 x 和 y 是两个变量，D 是一个非空数集。如果对 D 中每个数 x，按照某一对应法则 f，都有唯一确定的数 y 与之对应，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f(x), x ∈ D。
其中 D 称为定义域，与 x 对应的 y 称为函数值，全体函数值构成的集合称为值域。
① 分式分母不为零；② 偶次根号下非负；③ 对数真数大于零；④ 反正弦、反余弦函数自变量在 [-1, 1] 内；⑤ 实际问题还需考虑实际意义。
2. 函数的四个基本性质
| 性质 | 定义 | 判定要点 |
|---|---|---|
| 有界性 | ∃M>0，∀x∈I，|f(x)|≤M | 值域包含在有限区间内 |
| 单调性 | x₁<x₂ ⇒ f(x₁)<f(x₂)（增） | 可用导数符号判断 |
| 奇偶性 | f(-x)=f(x)（偶）；f(-x)=-f(x)（奇） | 定义域须关于原点对称 |
| 周期性 | ∃T>0，f(x+T)=f(x) | 最小正周期（若存在） |
奇函数图像关于原点对称，若 f(x) 在 x=0 处有定义，则 f(0)=0；偶函数图像关于 y 轴对称。两个偶函数之和仍为偶函数，两个奇函数之积为偶函数。
3. 反函数与复合函数
反函数：若函数 y=f(x) 是一一对应的，则存在反函数 x=f⁻¹(y)，习惯上记作 y=f⁻¹(x)。原函数与反函数图像关于直线 y=x 对称。
复合函数：设 y=f(u) 定义域为 D₁，u=g(x) 值域为 W₂，若 W₂∩D₁≠∅，则 y=f[g(x)] 称为由 y=f(u) 与 u=g(x) 复合而成的复合函数。
4. 初等函数
基本初等函数包括五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
分段函数不一定是初等函数（例如符号函数）。但有些分段函数可以用一个式子表示（如 |x| = √(x²)），则它是初等函数。
数列极限
数列极限是极限理论的基础，深刻理解其定义是掌握整个极限理论的关键。
设 {xₙ} 为一数列，a 为常数。若对任意给定的 ε > 0（不论多么小），总存在正整数 N，使得当 n > N 时，一切 xₙ 都满足
则称数列 {xₙ} 收敛于 a，记作 lim(n→∞) xₙ = a，否则称数列发散。
几何意义：在 a 的 ε 邻域 (a−ε, a+ε) 之外，数列中至多有有限项（前 N 项）。
收敛数列的性质
- 唯一性：若数列收敛，则极限唯一。
- 有界性：收敛数列必有界（有界是收敛的必要非充分条件）。
- 保号性：若 lim xₙ = a > 0，则存在 N，当 n > N 时 xₙ > 0。
- 子列性：收敛数列的任一子列也收敛，且收敛于同一极限。
数列有界不一定收敛（如 xₙ = (−1)ⁿ 有界但发散）；但单调有界数列必收敛，这是极限存在的两大准则之一。
函数极限
1. x → x₀ 时的极限
设函数 f(x) 在点 x₀ 的某去心邻域内有定义，A 为常数。若对任意 ε > 0，存在 δ > 0，使得当 0 < |x − x₀| < δ 时，恒有
则称 f(x) 当 x → x₀ 时的极限为 A，记作 lim(x→x₀) f(x) = A。
注意：极限只关心 x₀ 附近函数的变化趋势，与 f(x) 在 x₀ 处是否有定义、取何值无关。
2. x → ∞ 时的极限
若对任意 ε > 0，存在 X > 0，使得当 |x| > X 时恒有 |f(x) − A| < ε，则称 lim(x→∞) f(x) = A。
3. 左极限与右极限
当 x 从小于 x₀ 一侧趋于 x₀ 时的极限称为左极限，记作 lim(x→x₀⁻) f(x) 或 f(x₀⁻)；从大于 x₀ 一侧趋于时的极限称为右极限，记作 lim(x→x₀⁺) f(x) 或 f(x₀⁺)。
函数 f(x) 在 x → x₀ 时极限存在的充要条件是左极限与右极限都存在且相等，即：
这一结论常用于判定分段函数在分段点处极限是否存在。
4. 函数极限的性质
- 唯一性：若极限存在则唯一。
- 局部有界性：若 lim f(x) = A，则 f(x) 在 x₀ 的某去心邻域内有界。
- 局部保号性：若 lim f(x) = A > 0，则在某去心邻域内 f(x) > 0。
无穷小与无穷大
1. 无穷小的定义
若 lim f(x) = 0，则称 f(x) 为该极限过程中的无穷小（量）。注意：无穷小是变量，不是“很小的数”；零是唯一可作为无穷小的常数。
2. 无穷小的性质
- 有限个无穷小的和仍是无穷小；
- 有限个无穷小的积仍是无穷小；
- 有界函数与无穷小的积是无穷小；
- 常数与无穷小的积是无穷小。
lim f(x) = A ⟺ f(x) = A + α，其中 α 为同一过程中的无穷小。这一关系是极限理论的核心，把极限问题转化为无穷小问题。
3. 无穷大及其与无穷小的关系
若 |f(x)| 在极限过程中无限增大，即 lim f(x) = ∞，则称 f(x) 为无穷大。
f(x) 为无穷小且 f(x)≠0 ⟺ 1/f(x) 为无穷大
4. 无穷小的比较
设 α、β 是同一过程中的无穷小：
| 关系 | 极限条件 | 记法 |
|---|---|---|
| β 是 α 的高阶无穷小 | lim(β/α) = 0 | β = o(α) |
| β 是 α 的低阶无穷小 | lim(β/α) = ∞ | — |
| β 与 α 同阶无穷小 | lim(β/α) = c ≠ 0 | β = O(α) |
| β 与 α 等价无穷小 | lim(β/α) = 1 | β ~ α |
| β 是 α 的 k 阶无穷小 | lim(β/αᵏ) = c ≠ 0 | — |
5. 常用等价无穷小（x → 0 时）
在求极限时，乘除运算中的无穷小因子可用其等价无穷小替换，而加减运算中一般不能随意替换。这是考研高频考点，务必熟练记忆下表。
| 原式 | 等价无穷小 | 原式 | 等价无穷小 |
|---|---|---|---|
| sin x | ~ x | tan x | ~ x |
| arcsin x | ~ x | arctan x | ~ x |
| 1 − cos x | ~ ½x² | ln(1 + x) | ~ x |
| eˣ − 1 | ~ x | aˣ − 1 | ~ x·ln a |
| (1 + x)ᵃ − 1 | ~ a·x | x − sin x | ~ ⅙x³ |
| tan x − sin x | ~ ½x³ | x − ln(1 + x) | ~ ½x² |
极限运算法则与存在准则
1. 极限的四则运算法则
设 lim f(x) = A，lim g(x) = B 都存在，则：
lim[f(x) · g(x)] = A · B
lim[f(x) / g(x)] = A / B (B ≠ 0)
lim[c · f(x)] = c · A (c 为常数)
四则运算法则要求两个极限都存在才能使用。若遇到 0/0、∞/∞、∞−∞ 等未定式，不能直接用法则，需先化简或用洛必达法则、等价无穷小等方法处理。
2. 极限存在的两个准则
设函数 f(x)、g(x)、h(x) 满足：
① g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)（在某去心邻域内）；
② lim g(x) = lim h(x) = A；
则 lim f(x) = A。
适用场景：求含三角函数、阶乘、n 项之和的极限，如 lim(n→∞)(1/n²)(1+2+…+n) 等。
单调有界数列必有极限。即：
① 单调增且有上界的数列必收敛；
② 单调减且有下界的数列必收敛。
适用场景：由递推关系给出的数列（如 xₙ₊₁ = f(xₙ)），常先证有界性再证单调性，进而求得极限。
3. 海涅定理（归结原则）
设 f(x) 在 x₀ 的某去心邻域有定义，则 lim(x→x₀) f(x) = A 的充要条件是：对任意满足 xₙ→x₀（xₙ≠x₀）的数列 {xₙ}，都有 lim(n→∞) f(xₙ) = A。该定理建立了函数极限与数列极限之间的桥梁，可用于判定极限不存在。
两个重要极限
两个重要极限是计算极限的重要工具，几乎每年考研都会直接或间接考查，必须熟练掌握并能灵活变形应用。
更一般的形式：若 lim u(x) = 0 且 u(x) ≠ 0，则
等价变形：lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e。更一般地，若 lim u(x) = 0 且 u(x) ≠ 0，则
“1^∞”型未定式常用第二重要极限求解，可用公式：lim u^v = e^(lim v(u−1))（当 u→1, v→∞ 时）。
函数的连续性
1. 连续性的定义
设函数 f(x) 在点 x₀ 的某邻域内有定义，若
则称 f(x) 在点 x₀ 处连续。等价的增量定义为 lim(Δx→0) Δy = 0，即 lim(Δx→0)[f(x₀+Δx) − f(x₀)] = 0。
f(x) 在 x₀ 连续 ⇔ ① f(x₀) 有定义；② lim(x→x₀) f(x) 存在；③ 极限值等于函数值。三者缺一不可。
若 lim(x→x₀⁻) f(x) = f(x₀)，称 f(x) 在 x₀ 处左连续；若 lim(x→x₀⁺) f(x) = f(x₀)，称右连续。函数在 x₀ 连续的充要条件是既左连续又右连续。
2. 间断点及其分类
设 f(x) 在 x₀ 的某去心邻域有定义，若 f(x) 在 x₀ 处不连续，则称 x₀ 为 f(x) 的间断点。按左右极限的存在性分类如下：
| 类别 | 条件 | 典型例子 |
|---|---|---|
| 第一类 间断点 | 左右极限存在且相等（可去） | f(x)=sinx/x, x=0 |
| 左右极限存在但不相等（跳跃） | f(x)=sgn(x), x=0 | |
| 第二类 间断点 | 左右极限至少一个不存在 | — |
| 左右极限为∞（无穷）或振荡 | f(x)=1/x, x=0；f(x)=sin(1/x), x=0 |
判别间断点类型的关键是求左右极限：左右极限都存在为第一类（相等为可去，不等为跳跃）；至少一个不存在为第二类。
3. 连续函数的运算
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数；基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续。
闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续函数具有一系列重要性质，这些性质是后续微分中值定理等理论的基础。注意这些定理都要求闭区间和连续两个条件。
若 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f(x) 在 [a, b] 上一定能取得最大值 M 和最小值 m。
几何意义：闭区间上的连续曲线必有最高点和最低点。
若 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f(x) 在 [a, b] 上有界，即存在 M > 0，使 |f(x)| ≤ M。
若 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f(a)·f(b) < 0，则在开区间 (a, b) 内至少存在一点 ξ，使得 f(ξ) = 0。
应用：证明方程 f(x) = 0 在某区间内至少有一个实根。
设 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，f(a) = A，f(b) = B，C 是 A 与 B 之间的任意一个数，则在 (a, b) 内至少存在一点 ξ，使得 f(ξ) = C。
推论：闭区间上的连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的一切值。零点定理是介值定理当 C = 0 时的特例。
若区间为开区间，或函数不连续，则上述定理均可能不成立。例如 f(x)=1/x 在 (0,1) 内连续但无界。
典型例题
求极限 lim(x→0) (eˣ − 1 − x) / x²。
当 x→0 时，分子分母均趋于 0，为 0/0 型未定式。利用泰勒展开（或等价无穷小的精细形式）处理：
由 eˣ = 1 + x + x²/2 + o(x²)，得
因此
结论：极限值为 1/2。注意此处不能直接用 eˣ−1 ~ x 替换，因为替换后分子变为 x − x = 0，丢失了主要部分，体现了“加减运算中不能随意等价替换”的原则。
求极限 lim(x→∞) [(x + 2) / (x + 1)]ˣ。
当 x→∞ 时底数趋于 1，指数趋于 ∞，为 1^∞ 型未定式，套用第二重要极限。
变形：
令 t = x + 1，则 x = t − 1，t→∞：
于是
结论：极限值为 e。
求极限 lim(n→∞) (1/nⁿ)(1ⁿ + 2ⁿ + … + nⁿ)。
记 aₙ = (1/nⁿ)(1ⁿ + 2ⁿ + … + nⁿ)。注意到和式中最大项为 nⁿ，最小项为 1ⁿ = 1。
放大：每项都用 nⁿ 替代，得 aₙ ≤ (n · nⁿ)/nⁿ = n，这不能给出收敛结论，需更精细估计。
对分子提取 nⁿ：
其中最大项 (n/n)ⁿ = 1，其余项 (k/n)ⁿ → 0（k < n 时）。事实上可证 1 ≤ aₙ ≤ 1 + n·[(n−1)/n]ⁿ，而 n·[(n−1)/n]ⁿ = n·(1−1/n)ⁿ → 0（因 (1−1/n)ⁿ → e⁻¹，乘以 n 后趋于 0 需更细致估计，实际 n(1−1/n)ⁿ → 0）。
由夹逼准则，aₙ 上下均趋于 1，故
结论：极限值为 1。
讨论函数 f(x) = x / (1 − e^(1/x)) 的间断点及其类型。
函数可能的间断点为 x = 0（使 1/x 无定义）和 x = 1（无），实际只需讨论 x = 0。
① x → 0⁻：1/x → −∞，e^(1/x) → 0，分母 1 − 0 = 1，故 lim(x→0⁻) f(x) = 0/1 = 0。
② x → 0⁺：1/x → +∞，e^(1/x) → +∞，分母 → −∞，分子 → 0⁺，故 lim(x→0⁺) f(x) = 0（用等价无穷小：1 − e^(1/x) ~ −e^(1/x)，得 x / (−e^(1/x)) → 0）。
左右极限均存在且相等（都为 0），但 f(0) 无定义，故 x = 0 为第一类可去间断点。
结论：x = 0 是唯一间断点，且为可去间断点；若补充定义 f(0) = 0，函数在 x = 0 处连续。
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📌 本章小结
- 函数：掌握函数定义及有界性、单调性、奇偶性、周期性四大性质，理解反函数、复合函数与初等函数的概念。
- 极限：理解数列与函数极限的精确定义（ε-N、ε-δ），掌握左、右极限及极限存在的充要条件（左右极限相等）。
- 无穷小：理解无穷小与无穷大的概念及关系，牢记常用等价无穷小表，掌握“乘除可换、加减慎换”的替换原则。
- 运算法则与准则：熟练运用四则运算法则，掌握夹逼准则（适用于三角、阶乘、n 项和）与单调有界准则（适用于递推数列）。
- 两个重要极限：sinx/x → 1（x→0）与 (1+1/x)ˣ → e（x→∞），灵活识别 0/0 与 1^∞ 型未定式。
- 连续性：连续即“极限值 = 函数值”，会按左右极限是否存在将间断点分为第一类（可去、跳跃）与第二类（无穷、振荡）。
- 闭区间性质：闭区间上连续函数具有最值性、有界性、满足零点定理与介值定理，注意“闭区间 + 连续”两条件缺一不可。