无穷级数
常数项级数、幂级数与傅里叶级数——无穷求和的数学理论
考纲要求
无穷级数是考研数学一的难点章节，也是数学一区别于数学二、数学三的重要考点之一（数学一独有的傅里叶级数内容）。本章要求考生理解常数项级数敛散性概念，熟练掌握各类判别法，深入理解幂级数的收敛半径与和函数，并掌握函数的幂级数展开与傅里叶级数展开方法。
| 知识点 | 考试要求 | 考查层次 |
|---|---|---|
| 常数项级数收敛与发散的概念 | 理解级数收敛、发散及和的概念 | 理解 |
| 级数的基本性质与收敛的必要条件 | 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件 | 掌握 |
| 几何级数与 p 级数及其收敛性 | 掌握几何级数与 p 级数的收敛性 | 掌握 |
| 正项级数的比较、比值、根值判别法 | 会运用比较、比值、根值判别法判断敛散性 | 会 |
| 积分判别法 | 会用积分判别法判断正项级数敛散性 | 会 |
| 交错级数与莱布尼茨判别法 | 了解交错级数，掌握莱布尼茨判别法 | 掌握 |
| 任意项级数绝对收敛与条件收敛 | 了解绝对收敛与条件收敛的概念及性质 | 了解 |
| 函数项级数的收敛域 | 了解函数项级数的收敛域概念 | 了解 |
| 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 | 理解幂级数收敛半径的概念并会求收敛域 | 理解 |
| 幂级数在其收敛区间内的基本性质 | 了解幂级数在收敛区间内的基本性质 | 了解 |
| 简单幂级数的和函数的求法 | 会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数 | 会 |
| 初等函数的幂级数展开式 | 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，掌握常用展开式 | 掌握 |
| 函数的傅里叶系数与傅里叶级数 | 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理 | 了解 |
| 函数在 [-l, l] 上的傅里叶级数 | 会求定义在 [-l, l] 上的傅里叶级数 | 会 |
| 正弦级数与余弦级数 | 会求定义在 [0, l] 上的正弦级数和余弦级数 | 会 |
无穷级数在考研数学一中约占 10% 的分值，是每年必考内容。考查重点集中在：正项级数判敛（选择题/填空题）、幂级数收敛域与和函数（解答题）、函数展开为幂级数（解答题）。傅里叶级数是数学一特有考点，几乎每隔一两年出现一次。近年来将幂级数求和与微分方程、积分结合的综合性题目增多，需重点关注。
常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的定义
设给定一个数列 u₁, u₂, u₃, …, uₙ, …，则表达式
称为常数项无穷级数（简称级数），其中 uₙ 称为级数的通项（一般项）。
级数的前 n 项之和 Sₙ = u₁ + u₂ + … + uₙ = Σ(k=1 to n) uₖ 称为级数的部分和。
如果级数 Σ uₙ 的部分和数列 {Sₙ} 收敛于有限极限 S，即
则称级数 Σ uₙ 收敛，并称 S 为级数的和，记作 Σ uₙ = S。
若 lim(n→∞) Sₙ 不存在（包括趋于无穷），则称级数 Σ uₙ 发散。
当级数收敛时，rₙ = S - Sₙ = Σ(k=n+1 to ∞) uₖ 称为级数的余项，且 lim(n→∞) rₙ = 0。
级数敛散性的本质是部分和数列的敛散性。研究级数是否收敛，就是研究部分和数列 {Sₙ} 是否有极限。这是级数理论的出发点，许多判别法都源于此。
二、两个重要级数
以下两个级数是判断其他级数敛散性的标准参照，必须熟记其敛散性条件。
当 |q| < 1 时收敛于 a/(1-q)；当 |q| ≥ 1 时发散几何级数
当 p > 1 时收敛；当 p ≤ 1 时发散（p=1 时为调和级数，发散）p 级数
Σ 1/n（调和级数）是发散的，尽管其通项 1/n → 0。这表明"通项趋于零"只是级数收敛的必要条件而非充分条件。调和级数是考研中最常考查的发散级数，务必牢记。
三、收敛的必要条件
若级数 Σ uₙ 收敛，则
注意：反之不成立。即 lim uₙ = 0 不能保证级数收敛（如调和级数）。但若 lim uₙ ≠ 0（含极限不存在或趋于非零值），则级数 Σ uₙ 必发散。
判别作用：这是一个发散判别法——只能用来判定发散，不能用来判定收敛。
四、级数的基本性质
性质1（线性性）：若 Σ uₙ 和 Σ vₙ 都收敛，其和分别为 S 和 σ，则 Σ (αuₙ + βvₙ) 也收敛，且和为 αS + βσ（α、β 为常数）。
性质2：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性（但收敛时其和一般会改变）。
性质3：若级数 Σ uₙ 收敛，则对其项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
性质4：若 Σ uₙ 绝对收敛，则任意重排（交换项的次序）后所得级数仍收敛且和不变。
性质3的逆命题不成立：加括号后级数收敛，原级数不一定收敛。例如 (1-1)+(1-1)+… 收敛于 0，但原级数 1-1+1-1+… 是发散的。但加括号后级数发散，则原级数必发散（逆否命题成立）。
性质1中"两个收敛级数的线性组合收敛"成立，但不能随意推广：(1) 若 Σ uₙ 收敛、Σ vₙ 发散，则 Σ(uₙ±vₙ) 必发散；(2) 若 Σ uₙ、Σ vₙ 都发散，则 Σ(uₙ+vₙ) 可能收敛也可能发散（如 uₙ=1, vₙ=-1 时收敛于0）。
正项级数收敛判别法
若级数 Σ uₙ 满足 uₙ ≥ 0（n=1,2,…），则称为正项级数。正项级数的部分和数列 {Sₙ} 是单调递增的，由"单调有界数列必有极限"可知：正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界。这是所有正项级数判别法的基础。
正项级数 Σ uₙ 收敛的充要条件是它的部分和数列 {Sₙ} 有上界。
一、比较判别法
设 Σ uₙ 和 Σ vₙ 都是正项级数，且 uₙ ≤ vₙ（n=1,2,…）。
(1) 若 Σ vₙ 收敛，则 Σ uₙ 也收敛（大敛则小敛）；
(2) 若 Σ uₙ 发散，则 Σ vₙ 也发散（小散则大散）。
设 Σ uₙ 和 Σ vₙ 都是正项级数，且 lim(n→∞) uₙ/vₙ = l。
(1) 若 0 < l < +∞，则 Σ uₙ 与 Σ vₙ 同敛散；
(2) 若 l = 0，则由 Σ vₙ 收敛可推得 Σ uₙ 收敛；
(3) 若 l = +∞，则由 Σ vₙ 发散可推得 Σ uₙ 发散。
比较判别法的关键是选取合适的比较级数。通常选取几何级数或p 级数作为比较对象。当通项中含有 n 的幂次时，常与 p 级数比较；含有阶乘、指数时，常与几何级数比较。极限形式是实际解题中最常用的形式。
二、比值判别法（达朗贝尔判别法）
设 Σ uₙ 为正项级数，若
则：(1) 当 ρ < 1 时，级数收敛；(2) 当 ρ > 1（或 ρ = +∞）时，级数发散；(3) 当 ρ = 1 时，不能判定。
适用范围：通项中含有阶乘、n 的幂次乘积、指数等因子时，相邻项之比的极限易于求出，适用比值判别法。
三、根值判别法（柯西判别法）
设 Σ uₙ 为正项级数，若
则：(1) 当 ρ < 1 时，级数收敛；(2) 当 ρ > 1（或 ρ = +∞）时，级数发散；(3) 当 ρ = 1 时，不能判定。
适用范围：通项中 uₙ 含有 n 的幂次形式（如 aⁿ、nⁿ 等）时，开 n 次方后易于求极限，适用根值判别法。
当 ρ = 1 时，比值法和根值法都失效，需改用比较判别法或其他方法。典型的失效情形是 p 级数 Σ 1/nᵖ：无论 p 取何值，lim (1/(n+1)ᵖ)/(1/nᵖ) = 1 且 lim ⁿ√(1/nᵖ) = 1，两种方法都无法判别。此时应直接由 p 级数的结论或用比较判别法。
四、积分判别法
设 f(x) 在 [1, +∞) 上非负、连续、单调递减，uₙ = f(n)，则正项级数 Σ uₙ 与反常积分 ∫₁^{+∞} f(x) dx 同敛散。
适用范围：当通项 uₙ 能写成某单调递减函数 f(n) 的形式，且对应的反常积分易于计算判别时（如 Σ 1/(n ln n)、Σ 1/(n ln n · ln ln n) 等），适用积分判别法。
五、判别法选择策略
| 通项特征 | 首选判别法 | 比较/参照级数 |
|---|---|---|
| 含阶乘 n!、(2n)! 等 | 比值判别法 | — |
| 含 aⁿ、nⁿ 等 | 根值判别法 | 几何级数 |
| 通项为 n 的有理式或含 nᵖ | 比较判别法极限形式 | p 级数 Σ1/nᵖ |
| 含 ln n、ln(ln n) 等 | 积分判别法 | ∫1/(x ln x) dx 等 |
| 通项含多个因子需精确比较 | 比较判别法（放缩） | 几何级数或 p 级数 |
| 通项趋于非零值或不存在 | 收敛必要条件（判发散） | — |
1. 先看必要条件：首先检查 lim uₙ 是否为 0，若不为 0 直接判发散。
2. 识别通项结构：含阶乘用比值法，含 n 次幂用根值法，含 nᵖ 用比较法与 p 级数比较。
3. 放缩技巧：使用比较判别法时常需对通项进行等价无穷小替换或适当放缩。如 uₙ ~ c/nᵖ（n→∞），则与 Σ1/nᵖ 同敛散。
4. ρ=1 时的处理：比值法或根值法失效（ρ=1）时，立即转向比较判别法，通常用 p 级数作为比较对象。
5. 等价无穷小的应用：当 n→∞ 时，若 uₙ ~ vₙ，则正项级数 Σ uₙ 与 Σ vₙ 同敛散（这是比较判别法极限形式 l=1 的推论）。
交错级数与绝对收敛
一、交错级数
各项正负交错的级数称为交错级数，一般形式为：
设交错级数 Σ(-1)ⁿ⁻¹ uₙ（uₙ > 0）满足条件：
(1) uₙ ≥ uₙ₊₁（n = 1, 2, …），即 {uₙ} 单调递减；
(2) lim(n→∞) uₙ = 0。
则该交错级数收敛，且其和 S 满足 0 ≤ S ≤ u₁，余项 |rₙ| ≤ uₙ₊₁。
莱布尼茨判别法要求两个条件同时满足：① 通项 uₙ 单调递减；② lim uₙ = 0。若仅满足 lim uₙ = 0 而不单调递减，级数不一定收敛。例如 Σ(-1)ⁿ⁻¹/n^(1/n) 中 uₙ = 1/n^(1/n) → 1 不趋于 0，发散。验证单调递减时，常令 uₙ = f(n)，考察 f(x) 的导数符号或 uₙ₊₁/uₙ 是否小于 1。
二、绝对收敛与条件收敛
设 Σ uₙ 为任意项级数。
(1) 若级数 Σ |uₙ| 收敛，则称 Σ uₙ 绝对收敛；
(2) 若级数 Σ uₙ 收敛，但 Σ |uₙ| 发散，则称 Σ uₙ 条件收敛。
若级数 Σ uₙ 绝对收敛（即 Σ |uₙ| 收敛），则 Σ uₙ 必收敛。
注意：反之不成立。即 Σ uₙ 收敛不能推出 Σ |uₙ| 收敛。例如交错级数 Σ(-1)ⁿ⁻¹/n 收敛（莱布尼茨判别法），但 Σ 1/n 发散，故为条件收敛。
对任意项级数 Σ uₙ，通常的判别顺序为：先取绝对值，对 Σ |uₙ| 用正项级数判别法。若 Σ |uₙ| 收敛，则原级数绝对收敛（从而收敛）；若 Σ |uₙ| 发散，则需进一步考察原级数是否收敛——若为交错级数，可尝试莱布尼茨判别法，若满足则条件收敛，否则发散。
三、绝对收敛级数的性质
绝对收敛级数具有一般收敛级数所不具备的重要性质，这些性质是条件收敛级数所没有的。
性质1（可交换性）：绝对收敛级数任意交换各项的次序（重排）后所得的新级数仍绝对收敛，且其和不变。
性质2（柯西乘积）：若 Σ uₙ 和 Σ vₙ 都绝对收敛，其和分别为 S 和 σ，则它们的柯西乘积 Σ wₙ（其中 wₙ = u₁vₙ + u₂vₙ₋₁ + … + uₙv₁）也绝对收敛，且和为 Sσ。
对于条件收敛级数，黎曼证明了：通过适当重排各项的次序，可以使其收敛到任意实数，甚至可以使其发散。这说明条件收敛级数的"和"依赖于项的排列次序，这是绝对收敛与条件收敛的本质区别。因此，绝对收敛级数"可自由重排"的性质对条件收敛级数不成立。
幂级数
一、函数项级数的概念
设 u₁(x), u₂(x), …, uₙ(x), … 是定义在区间 I 上的函数列，则表达式
称为定义在 I 上的函数项级数。
对于点 x₀ ∈ I，若常数项级数 Σ uₙ(x₀) 收敛，则称 x₀ 为该函数项级数的收敛点；否则称为发散点。全体收敛点构成的集合称为收敛域。在收敛域上，函数项级数的和是 x 的函数，称为和函数 S(x)。
二、幂级数及其收敛半径
形如
的函数项级数称为 x - x₀ 的幂级数，其中 aₙ 为常数，称为幂级数的系数。当 x₀ = 0 时，化为 Σ aₙxⁿ，称为 x 的幂级数。
若幂级数 Σ aₙxⁿ 在 x = x₀（x₀ ≠ 0）处收敛，则对满足 |x| < |x₀| 的一切 x，该幂级数绝对收敛；反之，若在 x = x₀ 处发散，则对满足 |x| > |x₀| 的一切 x，该幂级数发散。
推论：幂级数 Σ aₙxⁿ 的收敛域是以原点为中心的对称区间 (-R, R)，其中 R 称为收敛半径，(-R, R) 称为收敛区间。
三、收敛半径的计算公式
当 ρ = 0 时 R = +∞；当 ρ = +∞ 时 R = 0比值法求收敛半径
当 ρ = 0 时 R = +∞；当 ρ = +∞ 时 R = 0根值法求收敛半径
求幂级数收敛域的步骤：(1) 用比值法或根值法求收敛半径 R；(2) 判断端点 x = R 和 x = -R 处级数的敛散性（将端点代入级数化为常数项级数判别）；(3) 收敛区间 (-R, R) 加上收敛的端点即为收敛域。注意：收敛区间（不含端点）与收敛域（含收敛端点）是两个不同概念。
四、幂级数的运算
设幂级数 Σ aₙxⁿ 与 Σ bₙxⁿ 的收敛半径分别为 R₁ 和 R₂，取 R = min(R₁, R₂)，则在 (-R, R) 内：
- 加法、减法： Σ aₙxⁿ ± Σ bₙxⁿ = Σ (aₙ ± bₙ)xⁿ，收敛半径至少为 R。
- 乘法（柯西乘积）： (Σ aₙxⁿ)(Σ bₙxⁿ) = Σ cₙxⁿ，其中 cₙ = a₀bₙ + a₁bₙ₋₁ + … + aₙb₀，收敛半径至少为 R。
幂级数在其收敛区间 (-R, R) 内还具有以下分析性质：
设幂级数 Σ aₙxⁿ 的收敛半径为 R > 0，和函数为 S(x)，则：
1. 逐项求导： S(x) 在 (-R, R) 内可导，且可逐项求导：
逐项求导后的幂级数收敛半径仍为 R。
2. 逐项积分： S(x) 在 (-R, R) 内可积，且可逐项积分：
逐项积分后的幂级数收敛半径仍为 R。
逐项求导和逐项积分是求幂级数和函数的核心方法，其目的是将级数化为已知和函数的形式（通常是几何级数 Σxⁿ = 1/(1-x)）。一般规律：通项系数中分母含 n（如 1/n、1/(n+1)）时，用先导后积消去分母；通项系数中含 n（如 n、n²）时，用先积后导消去分子。
函数的幂级数展开
一、泰勒级数与麦克劳林级数
设函数 f(x) 在点 x₀ 的某邻域内具有任意阶导数，则 f(x) 在该邻域内能展开为泰勒级数：
的充分必要条件是 f(x) 的泰勒公式余项 Rₙ(x) 满足 lim(n→∞) Rₙ(x) = 0。
当 x₀ = 0 时，泰勒级数化为麦克劳林级数：
若函数 f(x) 能展开为幂级数 Σ aₙxⁿ，则该展开式是唯一的，且其系数必定为 aₙ = f⁽ⁿ⁾(0)/n!。这一唯一性保证了：无论用直接展开法（求各阶导数）还是间接展开法（利用已知展开式经运算得到），结果都是相同的。
二、常用函数的麦克劳林展开式
以下展开式是间接展开法的基础，必须熟记，包括展开式和收敛域。
| 函数 | 麦克劳林展开式 | 收敛域 |
|---|---|---|
| eˣ | Σ(n=0 to ∞) xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … | (-∞, +∞) |
| sin x | Σ(n=0 to ∞) (-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! = x - x³/3! + x⁵/5! - … | (-∞, +∞) |
| cos x | Σ(n=0 to ∞) (-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! = 1 - x²/2! + x⁴/4! - … | (-∞, +∞) |
| ln(1+x) | Σ(n=1 to ∞) (-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n = x - x²/2 + x³/3 - … | (-1, 1] |
| 1/(1-x) | Σ(n=0 to ∞) xⁿ = 1 + x + x² + x³ + … | (-1, 1) |
| 1/(1+x) | Σ(n=0 to ∞) (-1)ⁿxⁿ = 1 - x + x² - x³ + … | (-1, 1) |
| (1+x)ᵅ | 1 + αx + α(α-1)x²/2! + α(α-1)(α-2)x³/3! + … | (-1, 1)（端点视 α 而定） |
| arctan x | Σ(n=0 to ∞) (-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1) = x - x³/3 + x⁵/5 - … | [-1, 1] |
| arcsin x | x + x³/6 + 3x⁵/40 + … | [-1, 1] |
记忆技巧：cos x 由 sin x 逐项求导得到；ln(1+x) 由 1/(1+x) 逐项积分得到；arctan x 由 1/(1+x²) 逐项积分得到。这些关系体现了间接展开法的核心思想。另外，1/(1-x) 是最基础的展开式，务必牢记。
三、间接展开法
由于直接展开法需计算各阶导数并验证余项趋于零，过程繁琐，实际中多采用间接展开法——利用已知的麦克劳林展开式，通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项积分等方法，将函数展开为幂级数。
1. 变量代换：利用已知展开式进行变量替换。如 e⁻ˣ² = Σ (-x²)ⁿ/n! = Σ (-1)ⁿx²ⁿ/n!（将 eˣ 展开式中 x 替换为 -x²）。
2. 逐项求导：对已知展开式两边求导。如由 sin x = Σ(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! 求导得 cos x = Σ(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!。
3. 逐项积分：对已知展开式两边积分。如由 1/(1+x) = Σ(-1)ⁿxⁿ 积分得 ln(1+x) = Σ(-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n。
4. 部分分式分解：对有理函数先分解为部分分式，再分别展开。如 1/(x²-3x+2) 分解为 1/(x-1) - 1/(x-2) 后展开。
5. 先求导/积分再展开、最后逆运算：对 f(x) 求导（或积分）化为已知函数展开，再积分（或求导）还原。
间接展开法中，变量代换后需注意收敛域的变化。例如将 1/(1-x) 中 x 替换为 2x，得到 1/(1-2x) = Σ(2x)ⁿ，收敛条件由 |x| < 1 变为 |2x| < 1，即 |x| < 1/2。逐项求导不改变收敛半径，但可能失去端点；逐项积分不改变收敛半径，但可能增加端点。
傅里叶级数
傅里叶级数是将周期函数展开为三角函数的无穷级数，是数学一独有的考查内容。它研究的是如何用正弦、余弦函数的线性组合来表示周期函数。
一、三角函数系的正交性
三角函数系 {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, …, cos nx, sin nx, …} 在区间 [-π, π] 上具有正交性，即任意两个不同函数的乘积在 [-π, π] 上的积分为 0：
∫₋π^π sin nx · sin mx dx = 0 （n ≠ m）
∫₋π^π sin nx · cos mx dx = 0 （n, m 任意）
而相同函数的乘积（即平方）的积分不为 0：
二、傅里叶系数与傅里叶级数
设 f(x) 是以 2π 为周期的周期函数，且在 [-π, π] 上可积，则其傅里叶系数为：
aₙ = (1/π) ∫₋π^π f(x) cos(nx) dx （n = 1, 2, …）
bₙ = (1/π) ∫₋π^π f(x) sin(nx) dx （n = 1, 2, …）傅里叶系数
由这些系数确定的三角级数
称为 f(x) 的傅里叶级数。注意此处用"~"而非"="，因为傅里叶级数是否等于 f(x) 需由收敛定理决定。a₀/2 中除以 2 是为了使系数公式统一（即 a₀ 也满足 aₙ 的公式形式）。
三、狄利克雷收敛定理
设 f(x) 是以 2π 为周期的周期函数。若 f(x) 在 [-π, π] 上满足狄利克雷条件：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只有有限个极值点。
则 f(x) 的傅里叶级数收敛，且：
① 当 x 是 f(x) 的连续点时，级数收敛于 f(x)；
② 当 x 是 f(x) 的间断点时，级数收敛于 [f(x⁻) + f(x⁺)] / 2，即左右极限的算术平均值。
狄利克雷定理中，傅里叶级数在间断点处收敛于左右极限的平均值 [f(x⁻) + f(x⁺)]/2，而不是 f(x) 本身。这是傅里叶级数考题中的常见易错点。在区间端点 x = ±π 处，由于周期性，级数收敛于 [f(-π⁺) + f(π⁻)]/2。
四、奇偶函数的傅里叶级数
利用函数的奇偶性可以简化傅里叶系数的计算：
1. 奇函数的傅里叶级数（正弦级数）：若 f(x) 是以 2π 为周期的奇函数，则 a₀ = aₙ = 0，其傅里叶级数只含正弦项：
2. 偶函数的傅里叶级数（余弦级数）：若 f(x) 是以 2π 为周期的偶函数，则 bₙ = 0，其傅里叶级数只含余弦项：
对于定义在 [0, π] 上的非周期函数 f(x)，可以将其延拓为 [-π, π] 上的奇函数（奇延拓）或偶函数（偶延拓），再以 2π 为周期延拓到整个数轴。奇延拓得到正弦级数，偶延拓得到余弦级数。在 (0, π) 内连续点处，两种延拓的傅里叶级数都收敛于 f(x)。
五、周期为 2l 的函数的傅里叶级数
对于以 2l 为周期的函数 f(x)，通过变量代换 t = πx/l 可化为以 2π 为周期的情形。其傅里叶系数与傅里叶级数为：
aₙ = (1/l) ∫₋ₗ^l f(x) cos(nπx/l) dx （n = 1, 2, …）
bₙ = (1/l) ∫₋ₗ^l f(x) sin(nπx/l) dx （n = 1, 2, …）周期2l的傅里叶系数
类似地，奇函数展开为正弦级数 Σ bₙ sin(nπx/l)（bₙ = (1/l)∫₀^l f(x) sin(nπx/l) dx），偶函数展开为余弦级数 a₀/2 + Σ aₙ cos(nπx/l)（aₙ = (1/l)∫₀^l f(x) cos(nπx/l) dx）。
1. 判断周期与区间：确定函数的周期 2π 或 2l，以及展开区间 [-π, π] 或 [-l, l]。
2. 判断奇偶性：若函数为奇函数则只需算 bₙ，偶函数则只需算 a₀, aₙ，可简化计算。
3. 计算系数：利用积分公式计算 a₀, aₙ, bₙ，常需用分部积分法。
4. 写出展开式并注明收敛情况：用狄利克雷定理说明在连续点收敛于 f(x)，在间断点收敛于左右极限平均值。
典型例题
(1) Σ(n=1 to ∞) n! / nⁿ；
(2) Σ(n=1 to ∞) (n+1) / (n² + 2n + 3)。
(1) 分析：通项含阶乘 n! 和 nⁿ，选用比值判别法。
计算：
lim(n→∞) uₙ₊₁/uₙ = lim [(n+1)!/(n+1)ⁿ⁺¹] / [n!/nⁿ] = lim [(n+1)·n!·nⁿ] / [(n+1)ⁿ⁺¹·n!]
= lim nⁿ/(n+1)ⁿ = lim 1/[(1+1/n)ⁿ] = 1/e
因为 ρ = 1/e < 1，所以级数 收敛。
(2) 分析：通项为 n 的有理式，与 p 级数比较。当 n→∞ 时：
uₙ = (n+1)/(n²+2n+3) ~ n/n² = 1/n
即与 Σ 1/n（调和级数，发散）同敛散。由比较判别法极限形式，lim uₙ/(1/n) = 1 ∈ (0, +∞)，两者同敛散，故级数 发散。
第一步：求收敛半径。用比值法：
ρ = lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ| = lim |[xⁿ⁺¹/((n+1)·2ⁿ⁺¹)] / [xⁿ/(n·2ⁿ)]| = lim |x|·n/[(n+1)·2] = |x|/2
由 ρ = |x|/2 < 1 得 |x| < 2，故收敛半径 R = 2，收敛区间为 (-2, 2)。
第二步：判断端点。
当 x = 2 时，级数为 Σ 2ⁿ/(n·2ⁿ) = Σ 1/n，为调和级数，发散。
当 x = -2 时，级数为 Σ (-2)ⁿ/(n·2ⁿ) = Σ (-1)ⁿ/n，为交错级数。由莱布尼茨判别法：uₙ = 1/n 单调递减且趋于 0，故收敛。
第三步：确定收敛域。收敛域为 [-2, 2)。
分析：利用对数性质分解，再用已知展开式 ln(1+t) = Σ(-1)ⁿ⁻¹tⁿ/n。
因 x² + 3x + 2 = (x+1)(x+2)，故：
f(x) = ln(x+1) + ln(x+2) = ln(1+x) + ln[2(1 + x/2)] = ln(1+x) + ln2 + ln(1 + x/2)
利用展开式 ln(1+t) = Σ(n=1 to ∞) (-1)ⁿ⁻¹tⁿ/n（t ∈ (-1, 1]）：
ln(1+x) = Σ(n=1 to ∞) (-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n，收敛域 x ∈ (-1, 1]。
ln(1 + x/2) = Σ(n=1 to ∞) (-1)ⁿ⁻¹(x/2)ⁿ/n = Σ(n=1 to ∞) (-1)ⁿ⁻¹xⁿ/(n·2ⁿ)，收敛域 |x/2| ≤ 1 且 x/2 > -1，即 x ∈ (-2, 2]。
两式相加（取交集收敛域）：
f(x) = ln2 + Σ(n=1 to ∞) [(-1)ⁿ⁻¹/n · (1 + 1/2ⁿ)] xⁿ
收敛域为两个展开式收敛域的交集 (-1, 1]。
分析：由于 f(x) = x 在 [-π, π] 上是奇函数，故 a₀ = aₙ = 0，只需计算 bₙ，展开为正弦级数。
计算傅里叶系数：
bₙ = (1/π)∫₋π^π x·sin(nx) dx = (2/π)∫₀^π x·sin(nx) dx（利用奇函数性质）
用分部积分法：取 u = x，dv = sin(nx)dx，则 du = dx，v = -cos(nx)/n：
∫₀^π x·sin(nx) dx = [-x·cos(nx)/n]₀^π + ∫₀^π cos(nx)/n dx
= -π·cos(nπ)/n + 0 + [sin(nx)/n²]₀^π = -π(-1)ⁿ/n + 0 = -π(-1)ⁿ/n
因此 bₙ = (2/π)·[-π(-1)ⁿ/n] = 2(-1)ⁿ⁺¹/n = -2(-1)ⁿ/n。
傅里叶级数为：
x ~ Σ(n=1 to ∞) 2(-1)ⁿ⁺¹/n · sin(nx) = 2[sin x - (1/2)sin 2x + (1/3)sin 3x - …]
收敛情况（狄利克雷定理）： f(x) = x 在 (-π, π) 内连续，级数收敛于 x；在端点 x = ±π 处，f(π⁻) = π，f(-π⁺) = -π，级数收敛于 [π + (-π)]/2 = 0。
故 x = 2Σ(n=1 to ∞) (-1)ⁿ⁺¹sin(nx)/n，x ∈ (-π, π)。
📖 章节小结
- 级数敛散性的本质是部分和数列的敛散性。收敛的必要条件是通项趋于零（但非充分条件，如调和级数）。几何级数 Σqⁿ（|q|<1收敛）和 p 级数 Σ1/nᵖ（p>1收敛）是判别其他级数的标准参照。
- 正项级数判别法的核心是比较判别法（含极限形式）。比值法（达朗贝尔）适用于含阶乘的通项，根值法（柯西）适用于含 n 次幂的通项，两者在 ρ=1 时失效，需改用比较法与 p 级数比较。积分判别法适用于含 ln n 的通项。
- 交错级数用莱布尼茨判别法：通项单调递减且趋于零则收敛。任意项级数先判绝对收敛（取绝对值用正项级数判别法），若绝对值级数发散再判条件收敛。绝对收敛级数具有可交换性，条件收敛级数则不可随意重排（黎曼定理）。
- 幂级数的收敛域由阿贝尔定理确定为对称区间。收敛半径 R 用比值法或根值法求：R=1/ρ。收敛域需单独判断两个端点的敛散性。幂级数在收敛区间内可逐项求导和逐项积分，收敛半径不变。
- 和函数的求法是考研重点。核心技巧是利用逐项求导/积分将级数化为几何级数 Σxⁿ=1/(1-x) 的形式。通项系数分母含 n 用"先导后积"，含 n 的因子用"先积后导"。求出和函数后注意还原并注明收敛域。
- 函数的幂级数展开主要用间接展开法，熟记 eˣ、sinx、cosx、ln(1+x)、1/(1-x)、(1+x)ᵅ 等基本展开式及收敛域。通过变量代换、逐项求导/积分、部分分式分解等手段进行展开，注意展开后收敛域的变化。
- 傅里叶级数（数学一独有）将周期函数展开为三角级数。关键是熟记系数公式（周期 2π 和 2l 两种），利用奇偶性简化计算（奇函数→正弦级数，偶函数→余弦级数）。狄利克雷收敛定理指明：连续点收敛于 f(x)，间断点收敛于左右极限平均值。
- 备考建议：本章是难点，建议重点训练正项级数判敛（快速识别通项结构选对方法）、幂级数求和函数（熟练掌握逐项求导/积分技巧）、函数展开为幂级数（熟记六大基本展开式）。傅里叶级数虽分值不高但规律性强，掌握系数计算和奇偶性应用即可稳拿分。