第十章

特征值、特征向量与二次型

特征理论与二次型——线性代数的综合应用

线性代数约6% 综合重点

本章学习进度

本章目录

考纲要求
特征值与特征向量
特征值与特征向量的性质
相似矩阵与对角化
实对称矩阵的正交对角化
二次型及其标准形
正定二次型

📋考纲要求

特征值、特征向量与二次型是线性代数的综合应用章节，也是考研线代部分的重点考查内容。它将矩阵、行列式、向量组、线性方程组等知识融为一体，集中体现了线性代数的核心思想。本章要求考生深刻理解特征值与特征向量的概念及性质，熟练掌握其计算方法；理解相似矩阵的概念与矩阵可对角化的条件；掌握实对称矩阵正交对角化的理论与方法；理解二次型及其矩阵表示，掌握用正交变换和配方法化二次型为标准形；掌握正定二次型的判定方法。

知识点	考试要求	考查层次
特征值和特征向量的概念	理解矩阵特征值和特征向量的概念及性质	理解
特征值的计算	会求矩阵的特征值和特征向量	会
相似矩阵的概念及性质	理解相似矩阵的概念、性质	理解
矩阵可对角化的条件	掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件	掌握
相似对角矩阵	掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法	掌握
实对称矩阵的特征值与特征向量	理解实对称矩阵的特征值、特征向量的性质	理解
实对称矩阵的正交对角化	掌握用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法	掌握
二次型及其矩阵表示	掌握二次型及其矩阵表示	掌握
合同变换与合同矩阵	了解合同变换与合同矩阵的概念	了解
二次型的秩与惯性定理	了解二次型的秩，了解惯性定理	了解
化二次型为标准形	掌握用正交变换和配方法化二次型为标准形	掌握
正定二次型的概念与判定	理解正定二次型、正定矩阵的概念，掌握其判别法	理解/掌握

📌 命题趋势

特征值理论与二次型在考研数学一中约占 6% 的分值，是线代部分的核心考查点，几乎每年必考一道大题。考查重点集中在：实对称矩阵的正交对角化（解答题，需完整求特征值、特征向量、施密特正交化、构造正交矩阵）、含参数矩阵的特征值与对角化讨论（综合题）、二次型化为标准形及正定性判定（解答题/选择题）。其中"正交变换化二次型为标准形"与"正定矩阵的判定"是高频综合考点，常与特征值、合同等概念结合出题，需重点突破。

🔢特征值与特征向量

一、特征值与特征向量的定义

📖 定义：特征值与特征向量 ▼

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，如果存在数 $λ$ 和 n 维非零列向量 $x$ ，使得

Ax = λx 特征值定义

则称 $λ$ 为矩阵 $A$ 的特征值（特征根）， $x$ 为 $A$ 的对应于特征值 $λ$ 的特征向量。

等价表述：将 $Ax = λx$ 移项得 $(λE - A)x = 0$ （或 $(A - λE)x = 0$ ）。由于 $x \neq 0$ ，这说明齐次线性方程组 $(λE - A)x = 0$ 有非零解，从而其系数矩阵的行列式为零。

⚠️ 关键注意

特征向量 $x$ 必须是非零向量。零向量虽然满足 $A\cdot0 = λ\cdot0$ ，但不作为特征向量。特征值 $λ$ 可以是零、正数或负数甚至复数（但实矩阵的复特征值成共轭对出现）。若 $x$ 是 $A$ 的属于 $λ$ 的特征向量，则 $kx$ （ $k \neq 0$ ）也是属于 $λ$ 的特征向量，即特征向量不唯一，但一个特征向量只能属于一个特征值。

二、特征方程与特征多项式

📖 定义：特征多项式与特征方程 ▼

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，含有未知量 $λ$ 的矩阵 $λE - A$ 称为 $A$ 的特征矩阵。其行列式

f(λ) = |λE - A| = λⁿ - (tr A)λⁿ⁻¹ + \dots + (-1)ⁿ|A|

是 $λ$ 的 $n$ 次多项式，称为 $A$ 的特征多项式。方程

|λE - A| = 0 特征方程

称为 $A$ 的特征方程。特征方程的根即为矩阵 $A$ 的特征值。

由代数基本定理， $n$ 阶方阵在复数范围内恰有 $n$ 个特征值（重根按重数计算）。若 $λᵢ$ 是特征方程的 $k$ 重根，则称 $k$ 为 $λᵢ$ 的代数重数。

💡 特征多项式的结构

对于 $n$ 阶方阵 $A$ ，特征多项式 $f(λ) = |λE - A|$ 是 $λ$ 的首一 $n$ 次多项式。其系数有两个关键项： $λⁿ⁻¹$ 的系数为 $-tr(A)$ （迹的负值），常数项为 $(-1)ⁿ|A|$ （行列式的 $(-1)ⁿ$ 倍）。2 阶矩阵 $A = [[a, b], [c, d]]$ 的特征多项式为 $λ² - (a+d)λ + (ad - bc)$ ，可直接套用。

三、特征值与特征向量的求法

💡 求特征值与特征向量的步骤

第一步（求特征值）：计算特征多项式 $f(λ) = |λE - A|$ ，令其为零得到特征方程 $|λE - A| = 0$ ，求出全部根 $λ₁, λ₂, \dots, λₙ$ （含重根），即为 A 的全部特征值。

第二步（求特征向量）：对每个特征值 $λᵢ$ ，解齐次线性方程组 $(λᵢE - A)x = 0$ ，求出其基础解系 $ξ₁, ξ₂, \dots, ξ k$ ，则 $k₁ξ₁ + k₂ξ₂ + \dots + kₖξₖ$ （ $k₁, k₂, \dots, kₖ$ 不全为零）就是 A 的对应于 $λᵢ$ 的全部特征向量。

第三步（验证）：可选取基础解系中的向量作为特征向量的代表，验证 $Aξ = λᵢξ$ 是否成立。

💡 计算技巧

1. 三角矩阵/对角矩阵：上（下）三角矩阵、对角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素，无需计算特征多项式。

2. 2 阶矩阵：直接用公式 $λ² - tr(A)λ + |A| = 0$ 求解，再由韦达定理检验。

3. 含参数矩阵：先写出含参的特征多项式，因式分解后令各因子为零，讨论参数取值对特征值的影响。

4. 秩 1 矩阵：若 $A = αβ T$ （秩 1），则 $A$ 的非零特征值为 $β T α$ （即 $tr(A)$ ），其余特征值全为零。

📐特征值与特征向量的性质

一、迹与行列式的性质

定理：特征值与迹、行列式的关系 ▼

设 $n$ 阶方阵 $A$ 的全部特征值为 $λ₁, λ₂, \dots, λₙ$ （含重根），则：

① 特征值之和等于迹：

λ₁ + λ₂ + \dots + λₙ = tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + \dots + aₙₙ

② 特征值之积等于行列式：

λ₁ \cdot λ₂ \cdot \dots \cdot λₙ = |A|

这两个公式是验算特征值计算正确性的重要工具，也是处理抽象矩阵特征值问题的核心关系。

二、矩阵运算下的特征值

定理：矩阵运算下的特征值性质 ▼

设 $λ$ 是 $A$ 的特征值， $x$ 是对应的特征向量（ $Ax = λx$ ），则：

① $kA$ 的特征值为 $kλ$ （ $k$ 为常数），特征向量仍为 $x$ ；

② $A m$ 的特征值为 $λ m$ （ $m$ 为正整数），特征向量仍为 $x$ ；

③ 多项式 $f(A) = aₘA m + \dots + a₁A + a₀E$ 的特征值为 $f(λ) = aₘλ m + \dots + a₁λ + a₀$ ，特征向量仍为 $x$ ；

④ 若 $A$ 可逆（即 $λ \neq 0$ ），则 $A -1$ 的特征值为 $1/λ$ ，特征向量仍为 $x$ ；

⑤ 若 $A$ 可逆，则 $A*$ （伴随矩阵）的特征值为 $|A|/λ$ （因 $A* = |A|A -1$ ）；

⑥ $A T$ 的特征值也是 $λ$ （因 $|λE - A| = |λE - A T |$ ），但特征向量一般不同于 $x$ ；

⑦ $A$ 可逆的充要条件是 $A$ 的特征值全不为零（即 $|A| \neq 0$ ）。

💡 抽象矩阵特征值的求法

考研常考"已知 A 的特征值，求 f(A) 的特征值"这类问题。核心方法是：若 $A$ 的特征值为 $λ₁, \dots, λₙ$ ，则 $f(A)$ 的特征值为 $f(λ₁), \dots, f(λₙ)$ 。例如 $A² + 2A + 3E$ 的特征值为 $λ² + 2λ + 3$ 。同时可利用 $|f(A)| = f(λ₁)\cdotf(λ₂)\cdot\dots\cdotf(λₙ)$ 和 $tr(f(A)) = f(λ₁) + \dots + f(λₙ)$ 进行计算与验证。

三、不同特征值对应特征向量的线性无关性

定理：不同特征值对应特征向量线性无关 ▼

设 $λ₁, λ₂, \dots, λₛ$ 是 $A$ 的 $s$ 个互不相同的特征值， $ξ₁, ξ₂, \dots, ξₛ$ 是分别属于它们的特征向量，则 $ξ₁, ξ₂, \dots, ξₛ$ 线性无关。

推广：设 $λ₁, λ₂, \dots, λₛ$ 是 $A$ 的 $s$ 个互不相同的特征值， $ξ i1, ξ i2, \dots, ξ ikᵢ$ 是属于 $λᵢ$ 的线性无关的特征向量（ $i = 1, 2, \dots, s$ ），则向量组 $ξ₁₁, \dots, ξ 1k₁, ξ₂₁, \dots, ξ 2k₂, \dots, ξₛ₁, \dots, ξ skₛ$ 仍然线性无关。

💡 重要推论

若 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，从而 $A$ 一定可对角化。这是判断矩阵可对角化的一个充分条件（但非必要条件，有重根时仍可能对角化）。

四、特征子空间与几何重数

定理：特征子空间与几何重数 ▼

设 $λ₀$ 是 $A$ 的一个特征值，称集合

V λ₀ = {x | Ax = λ₀x} = N(λ₀E - A)

为 $A$ 的对应于 $λ₀$ 的特征子空间。它由属于 $λ₀$ 的所有特征向量及零向量构成，是一个线性子空间。

特征子空间的维数 $dim(V λ₀) = n - r(λ₀E - A)$ 称为 $λ₀$ 的几何重数，即属于 $λ₀$ 的线性无关特征向量的最大个数。

重要不等式：对任一特征值 $λ₀$ ，恒有

1 \leq 几何重数 \leq 代数重数 重数不等式

即 $1 \leq n - r(λ₀E - A) \leq k$ （ $k$ 为 $λ₀$ 的代数重数）。这一不等式是判断矩阵能否对角化的关键。

🔄相似矩阵与对角化

一、相似矩阵的定义与性质

📖 定义：相似矩阵 ▼

设 $A$ 、 $B$ 都是 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得

P⁻¹AP = B 相似定义

则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A ~ B$ 。矩阵 $P$ 称为相似变换矩阵。

相似关系是一种等价关系（满足自反性、对称性、传递性）。相似的本质是同一线性变换在不同基下的矩阵表示。

定理：相似矩阵的性质 ▼

若 $A ~ B$ （即 $P⁻¹AP = B$ ），则：

① $|A| = |B|$ （行列式相同）；

② $r(A) = r(B)$ （秩相同）；

③ $tr(A) = tr(B)$ （迹相同）；

④ $|λE - A| = |λE - B|$ （特征多项式相同），从而特征值完全相同；

⑤ $A$ 与 $B$ 同时可逆或同时不可逆；若可逆，则 $A⁻¹ ~ B⁻¹$ ；

⑥ $A m ~ B m$ （ $m$ 为正整数），且 $P⁻¹A m P = B m$ ；

⑦ $f(A) ~ f(B)$ （ $f$ 为多项式）；

⑧ $A$ 与 $B$ 的可对角化性相同。

注意：以上性质中，④（特征值相同）的逆不成立，即特征值相同的矩阵不一定相似。例如 $E$ 与 $[[1,1],[0,1]]$ 特征值都为 1,1，但不相似（与 $E$ 相似的只有 $E$ 本身）。

二、矩阵可对角化的条件

定理：矩阵可对角化的充要条件 ▼

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，以下条件互相等价：

① $A$ 可对角化，即存在可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $Λ$ ，使 $P⁻¹AP = Λ$ ；

② $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量；

③ 对 $A$ 的每个特征值，几何重数等于代数重数，即 $n - r(λᵢE - A) = mᵢ$ （ $mᵢ$ 为 $λᵢ$ 的代数重数）；

④ $A$ 的所有特征子空间的维数之和等于 $n$ ，即 $Σ dim(V λᵢ) = n$ 。

充分条件（非必要）：若 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则 $A$ 必可对角化。

⚠️ 核心关键：有 n 个线性无关的特征向量

判断矩阵 $A$ 能否对角化，最根本的标准就是看 $A$ 是否有 $n$ 个线性无关的特征向量。当 $A$ 的特征值互不相同时，由"不同特征值对应特征向量线性无关"定理，立即可得 $n$ 个无关特征向量，对角化无疑。当存在重根时，必须逐一检查每个重特征值的几何重数是否等于代数重数： $n - r(λᵢE - A) = mᵢ$ 。只要有一个特征值不满足此等式， $A$ 就不能对角化。这是考研判断对角化的核心方法。

三、对角化的步骤

📐 矩阵对角化的步骤 ▼

第一步：求出 $A$ 的全部特征值 $λ₁, λ₂, \dots, λₛ$ ，设 $λᵢ$ 的代数重数为 $mᵢ$ （ $Σmᵢ = n$ ）。

第二步：对每个 $λᵢ$ ，解齐次方程组 $(λᵢE - A)x = 0$ ，求出特征子空间的一组基（即 $mᵢ$ 个线性无关的特征向量）。若某特征值的线性无关特征向量个数小于其代数重数，则 $A$ 不可对角化，到此终止。

第三步：若总共得到 $n$ 个线性无关的特征向量 $p₁, p₂, \dots, pₙ$ ，令 $P = (p₁, p₂, \dots, pₙ)$ （以特征向量为列），则 $P$ 可逆。

第四步：令 $Λ = diag(λ₁, λ₂, \dots, λₙ)$ （对角线上第 $i$ 个元素为 $pᵢ$ 对应的特征值），则

P⁻¹AP = Λ = diag(λ₁, λ₂, \dots, λₙ) 对角化结果

注意： $P$ 的列向量排列顺序与 $Λ$ 的对角元素必须一一对应。

💡 对角化的应用：求 A的幂

若 $A$ 可对角化，即 $P⁻¹AP = Λ$ ，则 $A = PΛP⁻¹$ ，从而 $A m = PΛ m P⁻¹$ 。由于 $Λ m = diag(λ₁ m, \dots, λₙ m)$ 极易计算，这为求矩阵的高次幂提供了高效方法。这是对角化的重要应用之一，考研中常以"求 $A n$ "的形式出现。

⚖️实对称矩阵的正交对角化

实对称矩阵是线性代数中一类最重要的矩阵，它具有普通矩阵所没有的优良性质：特征值全为实数、不同特征值对应的特征向量正交、且一定能正交对角化。这些性质是二次型理论的基础。

一、实对称矩阵特征值的性质

定理：实对称矩阵的重要性质 ▼

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵（ $A T = A$ ），则：

① $A$ 的特征值全为实数。

② $A$ 的不同特征值对应的特征向量正交（不仅线性无关，而且内积为零）。

③ $A$ 的每个特征值的几何重数等于代数重数，因此实对称矩阵一定可对角化。

④（正交对角化定理）存在 $n$ 阶正交矩阵 $Q$ ，使得

Q⁻¹AQ = Q T AQ = Λ = diag(λ₁, λ₂, \dots, λₙ) 正交对角化

其中 $Λ$ 的对角元素为 $A$ 的全部特征值， $Q$ 的列向量为对应的正交单位化特征向量。

💡 正交矩阵及其性质

满足 $Q T Q = E$ （即 $Q⁻¹ = Q T$ ）的方阵 $Q$ 称为正交矩阵。其性质包括：① $|Q| = \pm1$ ；② $Q$ 的列（行）向量组构成标准正交基；③ $Q⁻¹$ 、 $Q T$ 仍是正交矩阵；④ 正交变换 $x = Qy$ 保持向量的长度和夹角不变（即 $‖x‖ = ‖y‖$ ），这在几何上对应旋转或反射。

二、施密特（Schmidt）正交化

💡 施密特正交化方法

当实对称矩阵的某特征值对应多个线性无关的特征向量时，这些特征向量之间不一定正交（同一特征子空间内的向量需要正交化）。此时使用施密特正交化将它们转化为正交向量组，再单位化。

设 $α₁, α₂, \dots, α r$ 为一组线性无关的向量，令：

· $β₁ = α₁$

· $β₂ = α₂ - [(α₂, β₁)/(β₁, β₁)] \cdot β₁$

· $β₃ = α₃ - [(α₃, β₁)/(β₁, β₁)] \cdot β₁ - [(α₃, β₂)/(β₂, β₂)] \cdot β₂$

· 一般地， $βₖ = αₖ - Σ i=1 k-1 [(αₖ, βᵢ)/(βᵢ, βᵢ)] \cdot βᵢ$

则 $β₁, β₂, \dots, β r$ 是与 $α₁, α₂, \dots, α r$ 等价的正交向量组。再单位化： $eᵢ = βᵢ / ‖βᵢ‖$ ，得到标准正交向量组 $e₁, e₂, \dots, e r$ 。

注意：不同特征值对应的特征向量已经正交，只需对同一特征子空间内的特征向量进行施密特正交化，不需要跨特征子空间正交化。

三、实对称矩阵正交对角化的步骤

📐 实对称矩阵正交对角化步骤 ▼

第一步：求出 $A$ 的全部特征值 $λ₁, λ₂, \dots, λₛ$ 。

第二步：对每个特征值 $λᵢ$ ，解 $(λᵢE - A)x = 0$ ，求出特征子空间的一组基。

第三步（正交化）：对维数大于 1 的特征子空间内的基向量，用施密特正交化方法将其正交化（不同特征值对应的特征向量已天然正交，无需处理）。

第四步（单位化）：将所有正交化后的特征向量单位化，得到 $n$ 个两两正交的单位特征向量 $e₁, e₂, \dots, eₙ$ 。

第五步：令 $Q = (e₁, e₂, \dots, eₙ)$ （以单位正交特征向量为列），则 $Q$ 为正交矩阵，且

Q T AQ = Λ = diag(λ₁, λ₂, \dots, λₙ)

其中 $Λ$ 对角线上第 $i$ 个元素为 $eᵢ$ 对应的特征值。

⚠️ 正交对角化易错点

1. 必须单位化：正交矩阵要求列向量既是正交的又是单位向量，仅正交不单位化得到的矩阵不是正交矩阵。

2. 正交化范围：只在同一特征子空间内进行施密特正交化。不同特征值对应的特征向量已经正交，若对全部向量统一正交化反而会破坏特征向量与特征值的对应关系。

3. 对应关系： $Q$ 的第 $i$ 列必须对应 $Λ$ 的第 $i$ 个对角元素（特征值），不可错位。

4. 正交矩阵不唯一：特征向量的选取、正交化的顺序、单位化时的正负号都会影响 $Q$ ，但 $Λ$ （按相同顺序排列特征值）是确定的。

📊二次型及其标准形

一、二次型的定义与矩阵表示

📖 定义：二次型 ▼

含有 $n$ 个变量 $x₁, x₂, \dots, xₙ$ 的二次齐次多项式

f(x₁, x₂, \dots, xₙ) = Σᵢ aᵢᵢxᵢ² + 2Σ i<j aᵢⱼxᵢxⱼ

称为 $n$ 元二次型。

矩阵表示：令 $x = (x₁, x₂, \dots, xₙ) T$ ，构造对称矩阵 $A$ ，其元素为：主对角线 $aᵢᵢ$ （ $xᵢ²$ 的系数），非主对角线 $aᵢⱼ = aⱼᵢ$ （ $xᵢxⱼ$ 系数的一半），则二次型可表示为：

f = x T Ax 二次型矩阵表示

其中 $A$ 称为二次型 $f$ 的矩阵，它是对称矩阵； $A$ 的秩 $r(A)$ 称为二次型的秩。

💡 矩阵表示的要点

二次型与对称矩阵一一对应。给定二次型，按"平方项系数放主对角线、交叉项系数除以 2 放对称位置"即可写出矩阵 $A$ 。反之，给定对称矩阵 $A$ ，按 $x T Ax$ 展开即得二次型。务必注意：交叉项 $xᵢxⱼ$ （ $i \neq j$ ）的系数等于 $2aᵢⱼ$ ，而非 $aᵢⱼ$ 。例如 $f = 2x₁² + 3x₂² - x₃² + 4x₁x₂ - 6x₂x₃$ 对应的矩阵为 $A = [[2, 2, 0], [2, 3, -3], [0, -3, -1]]$ 。

二、标准形与惯性定理

📖 定义：标准形与规范形 ▼

只含平方项（不含交叉项）的二次型 $f = d₁y₁² + d₂y₂² + \dots + dₙyₙ²$ 称为二次型的标准形。

通过可逆线性变换 $x = Cy$ （ $C$ 可逆），可将任意二次型化为标准形：

f = x T Ax = (Cy) T A(Cy) = y T (C T AC)y = y T By = d₁y₁² + \dots + dₙyₙ²

其中 $B = C T AC$ 为对角矩阵。此时称 $A$ 与 $B$ 合同（ $A ≅ B$ ）。

合同：设 $A$ 、 $B$ 为 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $C$ 使 $C T AC = B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 合同。合同是一种等价关系，保持对称性和秩。

定理：惯性定理（Sylvester） ▼

二次型 $f = x T Ax$ 经过任意可逆线性变换化为标准形后，其正系数的个数 $p$ （正惯性指数）和负系数的个数 $q$ （负惯性指数）都是唯一确定的，与所用的可逆线性变换无关。

其中 $p + q = r(A)$ （二次型的秩）， $p - q$ 称为符号差。

推论（合同判定）：两个实对称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同 ⟺ 它们有相同的秩和相同的正惯性指数（即 $r(A) = r(B)$ 且 $p A = p B$ ）。

三、用正交变换化二次型为标准形

对实对称矩阵 $A$ ，由正交对角化定理，存在正交矩阵 $Q$ 使 $Q T AQ = Λ = diag(λ₁, \dots, λₙ)$ 。作正交变换 $x = Qy$ ，则：

f = x T Ax = y T (Q T AQ)y = y T Λy = λ₁y₁² + λ₂y₂² + \dots + λₙyₙ² 正交变换标准形

即标准形的系数恰为 $A$ 的特征值。这是正交变换法的核心优势：标准形系数由特征值唯一确定。

📐 正交变换化二次型为标准形的步骤 ▼

第一步：写出二次型的对称矩阵 $A$ 。

第二步：求 $A$ 的特征值 $λ₁, λ₂, \dots, λₙ$ 。

第三步：求对应的特征向量，对重特征值的特征向量进行施密特正交化，全部单位化，得正交矩阵 $Q$ 。

第四步：作正交变换 $x = Qy$ ，写出标准形 $f = λ₁y₁² + λ₂y₂² + \dots + λₙyₙ²$ 。

四、配方法化二次型为标准形

配方法是另一种化二次型为标准形的常用方法，本质是通过可逆线性变换（不要求正交）消去交叉项。其步骤为：

💡 配方法步骤

情形一（含平方项）：若某变量（如 $x₁$ ）有平方项，则将含 $x₁$ 的所有项集中，配成完全平方 $a(x₁ + \dots)²$ ，然后对剩余变量继续配方，直至全部化为平方项。令 $yᵢ$ 等于各括号内的表达式，即得变换 $x = Cy$ 。

情形二（仅含交叉项）：若二次型只有交叉项（如 $f = 2x₁x₂$ ），先作变换 $x₁ = y₁ + y₂$ ， $x₂ = y₁ - y₂$ （其他 $xᵢ = yᵢ$ ），产生平方项后再按情形一配方。

配方法得到的标准形系数不唯一（取决于配方顺序），但正负惯性指数由惯性定理保证唯一。

五、两种方法的比较

比较项目	正交变换法	配方法
变换矩阵	正交矩阵 $Q$ （ $Q T Q = E$ ）	可逆矩阵 $C$ （一般不正交）
标准形系数	A 的特征值（唯一确定）	不唯一（取决于配方方式）
几何意义	坐标系的旋转/反射（保持形状）	一般的可逆线性变换（改变形状）
保持长度	是（ $‖x‖ = ‖y‖$ ）	否
计算量	较大（需求特征值、正交化、单位化）	较小（代数配方运算）
惯性指数	由特征值正负号确定	由标准形系数正负号确定（相同）
适用场景	要求正交变换的题目、几何问题	一般化标准形、求惯性指数

✅正定二次型

一、正定二次型的定义

📖 定义：正定、负定与不定二次型 ▼

设 $f = x T Ax$ 为实二次型（ $A$ 为实对称矩阵）：

· 若对任意 $x \neq 0$ ，恒有 $f(x) > 0$ （即 $x T Ax > 0$ ），则称 $f$ 为正定二次型， $A$ 为正定矩阵；

· 若对任意 $x \neq 0$ ，恒有 $f(x) < 0$ ，则称 $f$ 为负定二次型， $A$ 为负定矩阵；

· 若对任意 $x$ ，恒有 $f(x) \geq 0$ （且存在 $x \neq 0$ 使 $f(x) = 0$ ），则称 $f$ 为半正定；

· 若 $f$ 既取正值又取负值，则称 $f$ 为不定。

二、正定二次型的判定

定理：正定的充要条件与判定方法 ▼

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，以下条件互相等价（均为 $A$ 正定的充要条件）：

①（定义）对任意 $x \neq 0$ ， $x T Ax > 0$ ；

②（特征值法） $A$ 的所有特征值都大于零： $λᵢ > 0$ （ $i = 1, 2, \dots, n$ ）；

③（顺序主子式法 / Sylvester 准则） $A$ 的所有顺序主子式都大于零：

Δ₁ = a₁₁ > 0, Δ₂ = |a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂| > 0, \dots, Δₙ = |A| > 0

④（惯性指数法） $A$ 的正惯性指数 $p = n$ （即标准形中所有系数为正）；

⑤（合同标准形） $A$ 合同于单位矩阵 $E$ （即存在可逆 $C$ 使 $C T AC = E$ ）。

负定的充要条件： $A$ 负定 ⟺ $-A$ 正定 ⟺ $A$ 的特征值全为负 ⟺ $A$ 的奇数阶顺序主子式为负、偶数阶为正（即 $(-1) k Δₖ > 0$ ）。

💡 判定方法的选择策略

1. 具体数值矩阵：优先用顺序主子式法（Sylvester 准则），计算量最小——只需算 $n$ 个行列式。若主对角线出现非正元素，立即判定不正定（正定的必要条件：所有 $aᵢᵢ > 0$ ）。

2. 已知特征值或标准形：直接用特征值法，看是否全为正。

3. 抽象矩阵或证明题：回到定义法，证明 $x T Ax > 0$ 对 $x \neq 0$ 成立；或利用已知正定矩阵的性质传递。

4. 分块矩阵：若 $A$ 已知正定，可利用" $A$ 的主对角块正定则相关结论"进行推导。

三、正定矩阵的性质

定理：正定矩阵的重要性质 ▼

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，则：

① $A$ 可逆，且 $|A| > 0$ ；

② $A$ 的主对角线元素全为正： $aᵢᵢ > 0$ （ $i = 1, \dots, n$ ）；

③ $A⁻¹$ 也是正定矩阵（因 $A⁻¹$ 的特征值为 $1/λᵢ > 0$ ）；

④ $A m$ （ $m$ 为正整数）也是正定矩阵（特征值 $λᵢ m > 0$ ）；

⑤ 若 $B$ 也是正定矩阵，则 $A + B$ 正定（但 $AB$ 不一定正定，除非 $A$ 、 $B$ 可交换）；

⑥ 若 $C$ 为可逆矩阵，则 $C T AC$ 正定（合同保持正定性）；

⑦ $A$ 正定 ⟺ 存在可逆矩阵 $C$ 使 $A = C T C$ （Cholesky 分解的存在性）。

⚠️ 正定判定易错点

1. 顺序主子式 ≠ 主子式：顺序主子式是左上角的 $k\timesk$ 子式（ $Δₖ = |aᵢⱼ| i,j=1,\dots,k$ ），必须从 $Δ₁$ 到 $Δₙ$ 逐个检查。所有主子式为正是正定的充要条件，但只需检查顺序主子式即可（Sylvester 准则），不必检查全部主子式。

2. 仅 |A| > 0 不够： $|A| > 0$ 只是正定的必要条件而非充分条件。例如 $diag(-1, -1)$ 的 $|A| = 1 > 0$ 但不正定。

3. 正定要求对称：正定矩阵必须首先是对称矩阵。对非对称矩阵讨论"正定"时，应先取其对称部分 $(A + A T)/2$ 。

📝典型例题

📝 例题1：求矩阵的特征值与特征向量

题目：求矩阵

A = [[2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2]]

的特征值与特征向量。

解答：

第一步（求特征值）：计算特征多项式 $|λE - A|$ 。

$|λE - A| = |λ-2, -1, -1; -1, λ-2, -1; -1, -1, λ-2|$

将各列加到第一列，第一列提取 $(λ - 4)$ ：

$= (λ-4) |1, -1, -1; 1, λ-2, -1; 1, -1, λ-2|$

第一行乘 (-1) 加到各行： $= (λ-4) |1, -1, -1; 0, λ-1, 0; 0, 0, λ-1| = (λ-4)(λ-1)²$

令 $(λ-4)(λ-1)² = 0$ ，得特征值 $λ₁ = 4$ （单根）， $λ₂ = 1$ （二重根）。

验证：tr(A) = 2+2+2 = 6 = 4+1+1 ✓；|A| = (λ₁λ₂λ₃) = 4·1·1 = 4，直接算 |A| = 2(4-1)-1(2-1)+1(1-2) = 6-1-1 = 4 ✓。

第二步（求 λ₁ = 4 的特征向量）：解 $(4E - A)x = 0$ 。

$4E - A = [[2, -1, -1], [-1, 2, -1], [-1, -1, 2]]$

各行相加为零行，秩为 2。由 $2x₁ - x₂ - x₃ = 0$ 和 $-x₁ + 2x₂ - x₃ = 0$ ，相减得 $3x₁ = 3x₂$ ，即 $x₁ = x₂$ ；代回得 $x₃ = x₁$ 。故特征向量 $ξ₁ = (1, 1, 1) T$ 。

第三步（求 λ₂ = 1 的特征向量）：解 $(E - A)x = 0$ 。

$E - A = [[-1, -1, -1], [-1, -1, -1], [-1, -1, -1]]$ → 秩为 1，方程为 $x₁ + x₂ + x₃ = 0$ 。

基础解系： $ξ₂ = (1, -1, 0) T$ ， $ξ₃ = (1, 0, -1) T$ 。

几何重数 = 3 - r(E-A) = 3 - 1 = 2 = 代数重数 ✓。对应于 λ₂ = 1 的全部特征向量为 $k₂ξ₂ + k₃ξ₃$ （ $k₂, k₃$ 不全为零）。

验证： $Aξ₁ = (4, 4, 4) T = 4ξ₁ ✓$ ； $Aξ₂ = (1, -1, 0) T = 1\cdotξ₂ ✓$ 。

📝 例题2：矩阵的对角化

题目：判断矩阵

A = [[1, 1, 1], [0, 2, 1], [0, 0, 3]]

是否可对角化？若可，求可逆矩阵 P 和对角矩阵 Λ，使

P⁻¹AP = Λ

。

解答：

第一步（求特征值）：A 为上三角矩阵，特征值为主对角线元素 $λ₁ = 1, λ₂ = 2, λ₃ = 3$ ，三者互不相同。

由于 A 有 3 个互不相同的特征值，对应特征向量必线性无关，故 $A 可对角化$ 。

第二步（求特征向量）：

对 $λ₁ = 1$ ： $(E - A)x = 0$ ， $E - A = [[0, -1, -1], [0, -1, -1], [0, 0, -2]]$ ，得 $x₂ = x₃ = 0$ ， $x₁$ 自由。特征向量 $p₁ = (1, 0, 0) T$ 。

对 $λ₂ = 2$ ： $(2E - A)x = 0$ ， $2E - A = [[1, -1, -1], [0, 0, -1], [0, 0, 1]]$ ，得 $x₃ = 0$ ， $x₁ = x₂$ 。特征向量 $p₂ = (1, 1, 0) T$ 。

对 $λ₃ = 3$ ： $(3E - A)x = 0$ ， $3E - A = [[2, -1, -1], [0, 1, -1], [0, 0, 0]]$ ，得 $x₂ = x₃$ ， $2x₁ = x₂ + x₃ = 2x₃$ ，即 $x₁ = x₃$ 。特征向量 $p₃ = (1, 1, 1) T$ 。

第三步（构造 P 和 Λ）：

令 $P = (p₁, p₂, p₃) = [[1, 1, 1], [0, 1, 1], [0, 0, 1]]$ （可逆，|P| = 1 ≠ 0），

则 $Λ = P⁻¹AP = diag(1, 2, 3)$ 。

验证： $AP = [[1,2,3],[0,2,3],[0,0,3]]$ ， $PΛ = [[1,2,3],[0,2,3],[0,0,3]]$ ， $AP = PΛ ✓$ 。

📝 例题3：实对称矩阵的正交对角化

题目：设实对称矩阵

A = [[2, -1, -1], [-1, 2, -1], [-1, -1, 2]]

，求正交矩阵 Q，使

Q T AQ = Λ

为对角矩阵。

解答：

第一步（求特征值）：

$|λE - A| = |λ-2, 1, 1; 1, λ-2, 1; 1, 1, λ-2|$

各列加到第一列： $= (λ) |1, 1, 1; 1, λ-2, 1; 1, 1, λ-2|$

第一行乘 (-1) 加到各行： $= λ |1, 1, 1; 0, λ-3, 0; 0, 0, λ-3| = λ(λ-3)²$

特征值： $λ₁ = 0$ （单根）， $λ₂ = 3$ （二重根）。

第二步（求特征向量）：

对 $λ₁ = 0$ ： $Ax = 0$ ， $A = [[2,-1,-1],[-1,2,-1],[-1,-1,2]]$ 。各行相加为零，秩为 2。由 $2x₁ - x₂ - x₃ = 0$ 和 $-x₁ + 2x₂ - x₃ = 0$ 得 $x₁ = x₂ = x₃$ 。特征向量 $α₁ = (1, 1, 1) T$ 。

对 $λ₂ = 3$ ： $(3E - A)x = 0$ ， $3E - A = [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]$ ，秩为 1，方程 $x₁ + x₂ + x₃ = 0$ 。基础解系： $α₂ = (1, -1, 0) T$ ， $α₃ = (1, 0, -1) T$ 。

第三步（施密特正交化）：不同特征值对应的 α₁ 与 α₂、α₃ 已正交（验证 $(α₁,α₂) = 1-1+0 = 0 ✓$ ， $(α₁,α₃) = 1+0-1 = 0 ✓$ ）。但 $(α₂, α₃) = 1+0+0 = 1 \neq 0$ ，需对 α₂、α₃ 正交化：

· $β₂ = α₂ = (1, -1, 0) T$

· $β₃ = α₃ - [(α₃, β₂)/(β₂, β₂)]β₂ = (1, 0, -1) - (1/2)(1, -1, 0) = (1/2, 1/2, -1)$

为消去分数，取 $β₃ = (1, 1, -2) T$ （乘以 2）。验证 $(β₂, β₃) = 1-1+0 = 0 ✓$ 。

第四步（单位化）：

· $‖α₁‖ = \sqrt3$ ， $e₁ = (1/\sqrt3, 1/\sqrt3, 1/\sqrt3) T$

· $‖β₂‖ = \sqrt2$ ， $e₂ = (1/\sqrt2, -1/\sqrt2, 0) T$

· $‖β₃‖ = \sqrt6$ ， $e₃ = (1/\sqrt6, 1/\sqrt6, -2/\sqrt6) T$

第五步（构造 Q）：

$Q = (e₁, e₂, e₃) = [[1/\sqrt3, 1/\sqrt2, 1/\sqrt6], [1/\sqrt3, -1/\sqrt2, 1/\sqrt6], [1/\sqrt3, 0, -2/\sqrt6]]$

则 $Q T AQ = diag(0, 3, 3)$ 。

验证：Q 为正交矩阵（ $Q T Q = E$ ），对角线上元素 0, 3, 3 分别为 e₁, e₂, e₃ 对应的特征值。

📝 例题4：正定二次型的判定

题目：判断二次型

f(x₁, x₂, x₃) = 2x₁² + 2x₂² + 2x₃² + 2x₁x₂ + 2x₁x₃ + 2x₂x₃

是否正定。

解答：

方法一：顺序主子式法

写出二次型的对称矩阵 $A = [[2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2]]$ （对角线为平方项系数，非对角线为交叉项系数之半）。

计算各阶顺序主子式：

· $Δ₁ = a₁₁ = 2 > 0$ ✓

· $Δ₂ = |2, 1; 1, 2| = 4 - 1 = 3 > 0$ ✓

· $Δ₃ = |A| = 2(4-1) - 1(2-1) + 1(1-2) = 6 - 1 - 1 = 4 > 0$ ✓

所有顺序主子式均为正，由 Sylvester 准则， $f 正定$ 。

方法二：特征值法（验证）

该矩阵正是例题1中的矩阵，其特征值为 $λ₁ = 4, λ₂ = λ₃ = 1$ ，全部大于零，故 $A 正定$ ✓。

两种方法结论一致，二次型 f 正定。

📝 自测练习

完成以下5道选择题，检验本章学习效果。每题作答后即时显示对错与解析。

1设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, 2, -1，则 A² + 2A 的特征值为：

A 3, 8, -1
B 1, 4, 1
C 3, 8, 1
D 2, 6, 0

解析：若 A 的特征值为 λ，则 f(A) = A² + 2A 的特征值为 f(λ) = λ² + 2λ。代入 λ = 1：1+2 = 3；λ = 2：4+4 = 8；λ = -1：1-2 = -1。故特征值为 3, 8, -1。正确答案为 A。

2设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, -2, 3，则 tr(A) 和 |A| 分别为：

A tr(A) = 2, |A| = 6
B tr(A) = 2, |A| = -6
C tr(A) = 3, |A| = -6
D tr(A) = 6, |A| = 6

解析：特征值之和等于迹：tr(A) = 1 + (-2) + 3 = 2；特征值之积等于行列式：|A| = 1×(-2)×3 = -6。正确答案为 B。

3下列关于 n 阶方阵 A 可对角化的说法中，错误的是：

A A 有 n 个互不相同的特征值，则 A 可对角化
B A 是实对称矩阵，则 A 可对角化
C A 的每个特征值的几何重数等于代数重数，则 A 可对角化
D A 的行列式不等于零，则 A 可对角化

解析：A 有 n 个不同特征值是可对角化的充分条件（A正确）；实对称矩阵一定可对角化（B正确）；几何重数等于代数重数是可对角化的充要条件（C正确）。但 |A| ≠ 0 仅意味着 A 可逆（特征值不含零），并不能保证有 n 个线性无关的特征向量，例如 [[1,1],[0,1]] 的 |A| = 1 ≠ 0 但不可对角化（D错误）。正确答案为 D。

4设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值为 1, 1, 4。下列结论正确的是：

A A 不能对角化，因为特征值 1 是二重根
B A 可对角化但不能正交对角化
C A 可正交对角化，且属于特征值 1 的特征子空间维数为 2
D 属于特征值 1 的两个特征向量必定不正交

解析：实对称矩阵一定可正交对角化（A、B错误，C前半正确）。特征值 1 的代数重数为 2，实对称矩阵的几何重数等于代数重数，故特征子空间维数为 2（C后半正确）。属于同一特征值的特征向量不一定正交，但可通过施密特正交化使其正交（D说"必定不正交"错误）。正确答案为 C。

5二次型 f = x₁² + 2x₂² + 3x₃² + 2x₁x₂ 的正定性为：

A 正定
B 负定
C 不定
D 半正定

解析：二次型的矩阵 A = [[1, 1, 0], [1, 2, 0], [0, 0, 3]]。顺序主子式：Δ₁ = 1 > 0；Δ₂ = |1,1;1,2| = 2-1 = 1 > 0；Δ₃ = |A| = 3×(2-1) = 3 > 0。所有顺序主子式为正，由 Sylvester 准则，f 正定。正确答案为 A。

📖 章节小结

特征值与特征向量的概念是本章基础。满足 $Ax = λx$ （ $x \neq 0$ ）的数 $λ$ 和非零向量 $x$ 分别称为特征值和特征向量。等价于 $(λE - A)x = 0$ 有非零解，即 $|λE - A| = 0$ 。求法三步：算 $|λE - A|$ 求特征值 → 解 $(λᵢE - A)x = 0$ 求特征向量。三角矩阵/对角矩阵的特征值即主对角线元素。
特征值的核心性质：特征值之和 = 迹 $tr(A)$ ，特征值之积 = 行列式 $|A|$ （验算利器）。运算性质： $kA\tokλ$ 、 $A m \toλ m$ 、 $f(A)\tof(λ)$ 、 $A⁻¹\to1/λ$ 、 $A*\to|A|/λ$ 。不同特征值对应特征向量线性无关；几何重数 $\leq$ 代数重数。
相似与对角化： $A ~ B$ 当 $P⁻¹AP = B$ ，相似矩阵有相同特征值、迹、行列式、秩、特征多项式。可对角化充要条件：A 有 n 个线性无关的特征向量 ⟺ 每个特征值的几何重数 = 代数重数。充分条件：n 个不同特征值。对角化步骤：求特征值 → 求特征向量 → 构造 P → $P⁻¹AP = Λ$ 。
实对称矩阵的正交对角化是考研重点。实对称矩阵的三大优良性质：特征值全为实数、不同特征值对应特征向量正交、一定可正交对角化。正交对角化步骤：求特征值和特征向量 → 同一特征子空间内施密特正交化 → 全部单位化 → 构造正交矩阵 Q → $Q T AQ = Λ$ 。注意：不同特征值对应的特征向量已正交，只在同一特征子空间内正交化。
二次型及其标准形：二次型 $f = x T Ax$ （A 对称），交叉项系数 = $2aᵢⱼ$ 。化标准形两种方法：正交变换法（ $x = Qy$ ，标准形系数为特征值，唯一）和配方法（ $x = Cy$ ，系数不唯一）。惯性定理保证正负惯性指数 $p, q$ 唯一， $p + q = r(A)$ 。两实对称矩阵合同 ⟺ 秩和正惯性指数相同。
正定二次型的判定是高频考点。正定充要条件：① $x T Ax > 0$ （定义）；② 所有特征值 > 0；③ 所有顺序主子式 > 0（Sylvester 准则，最常用）；④ 正惯性指数 $p = n$ ；⑤ 合同于 E。正定矩阵性质： $|A| > 0$ 、 $aᵢᵢ > 0$ 、 $A⁻¹$ 和 $A m$ 正定、 $C T AC$ 正定（C 可逆）。
备考建议：本章是线代综合大题的核心来源，建议重点训练四类题型——实对称矩阵正交对角化（完整流程：特征值→特征向量→施密特正交化→单位化→构造Q）、含参数矩阵的对角化讨论（判断几何重数与代数重数关系）、正交变换化二次型为标准形（与正交对角化本质相同）、正定判定（顺序主子式法/特征值法）。解题主线：特征值贯穿全章，求出特征值后迹与行列式可验算，特征向量判断对角化，实对称矩阵施密特正交化构造正交矩阵，二次型标准形系数即特征值，正定性看特征值符号或顺序主子式。

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