第八章

行列式与矩阵

行列式计算与矩阵运算——线性代数的基石

线性代数约6% 基础章节

本章学习进度

本章目录

考纲要求
行列式的概念
行列式的性质与计算
矩阵的基本概念与运算
逆矩阵
矩阵的初等变换与初等矩阵
矩阵的秩

📋考纲要求

行列式与矩阵是线性代数的起始章节，也是后续向量、线性方程组、特征值等内容的运算基础。本章概念密集、计算性强，考研中多以选择题、填空题形式考查行列式计算与矩阵运算，也常与后续章节结合出现在解答题中。要求考生准确理解行列式与矩阵的基本概念，熟练掌握行列式的性质与计算方法、矩阵的各种运算及逆矩阵的求法。

知识点	考试要求	考查层次
行列式的概念和基本性质	理解行列式的概念，掌握行列式的基本性质	理解/掌握
行列式按行（列）展开定理	掌握行列式按行（列）展开定理	掌握
矩阵的概念	理解矩阵的概念，了解特殊矩阵	理解
矩阵的线性运算、乘法、转置	掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律	掌握
方阵的幂、方阵乘积的行列式	掌握方阵的幂，掌握方阵乘积的行列式的性质	掌握
逆矩阵的概念和性质	理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质	理解/掌握
矩阵可逆的充分必要条件	掌握矩阵可逆的充分必要条件	掌握
伴随矩阵	理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵	理解/会
矩阵的初等变换	理解矩阵初等变换的概念，掌握用初等变换求逆	理解/掌握
初等矩阵	理解初等矩阵的概念及其与初等变换的关系	理解
矩阵的秩	理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求秩	理解/掌握
矩阵的等价	了解矩阵等价的概念	了解
分块矩阵及其运算	了解分块矩阵及其运算	了解

📌 命题趋势

本章在线性代数部分约占基础地位，考研真题中常以数值型行列式计算（含参数行列式、抽象行列式）、伴随矩阵与逆矩阵的性质（如 $|A*|$ 、 $(A*)*$ 等）、矩阵方程、秩的性质与不等式为考点。行列式计算题要求熟练运用"化三角形法"和"降阶展开法"；抽象矩阵问题常借助 $AA* = |A|E$ 与初等变换的左乘右乘规则转化。复习时应做到概念清晰、运算准确、方法熟练。

🧮行列式的概念

一、排列与逆序数

📖 定义：排列与逆序数 ▼

排列：由 $1, 2, \dots, n$ 组成的一个有序数组称为一个 $n$ 级排列。 $n$ 级排列共有 $n!$ 个。

逆序：在一个排列中，若排在前面的数大于排在后面的数（即 $i < j$ 但 $p_i > p_j$ ），则称这两个数构成一个逆序。

逆序数：一个排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数，记作 $τ(p₁p₂\dotspₙ)$ 。

奇偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，为偶数的称为偶排列。

例如排列 $3 1 2$ ：3 在 1、2 之前且较大，构成 2 个逆序；1 与 2 不构成逆序，故 $τ(312) = 2$ ，为偶排列。

📐 对换的性质 ▼

对换：在排列中任意交换两个元素的位置（其余不动）称为一次对换。

定理：对换改变排列的奇偶性。即任意一次对换使奇排列变偶排列，偶排列变奇排列。

推论：在全部 $n!$ 个 $n$ 级排列中（ $n \geq 2$ ），奇排列与偶排列各占一半，即 $n!/2$ 个。

二、n 阶行列式的定义

📖 定义：n 阶行列式 ▼

设 $n²$ 个数 $a_ij (i, j = 1, 2, \dots, n)$ 排成 $n$ 行 $n$ 列，记

D = | a₁₁ a₁₂ \dots a₁ₙ | | a₂₁ a₂₂ \dots a₂ₙ | | ⋮ ⋮ | | aₙ₁ aₙ₂ \dots aₙₙ |

称为 $n$ 阶行列式，其值为所有取自不同行不同列的 $n$ 个元素乘积的代数和：

D = Σ (-1) τ(p₁p₂\dotspₙ) \cdot a₁p₁ a₂p₂ \dots aₙpₙ n 阶行列式

其中 $p₁p₂\dotspₙ$ 取遍所有 $n$ 级排列， $τ(p₁p₂\dotspₙ)$ 为该排列的逆序数，求和共 $n!$ 项。每项的符号由列下标排列的奇偶性决定。

💡 定义要点

行列式本质是一个数（标量），其展开式有 $n!$ 项，每项是取自不同行、不同列元素的乘积，正负各半（ $n \geq 2$ 时）。主对角线乘积 $a₁₁a₂₂\dotsaₙₙ$ 对应自然排列（逆序数为 0），符号为正。

由定义可直接得到几类特殊行列式的值：

上（下）三角形行列式等于主对角线元素之积： $D = a₁₁a₂₂\dotsaₙₙ$ 。
对角行列式（除主对角线外均为 0）： $D = a₁₁a₂₂\dotsaₙₙ$ 。
副对角线行列式： $D = (-1) n(n-1)/2 a₁ₙa₂,n-1\dotsaₙ₁$ （符号由列排列 $n, n-1, \dots, 1$ 的逆序数 $n(n-1)/2$ 决定）。

三、余子式、代数余子式与展开定理

📖 定义：余子式与代数余子式 ▼

在 $n$ 阶行列式 $D$ 中，划去元素 $a_ij$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，余下的元素按原相对位置构成的 $(n-1)$ 阶行列式称为 $a_ij$ 的余子式，记作 $M_ij$ 。

称 $A_ij = (-1) i+j M_ij$ 为 $a_ij$ 的代数余子式。

注意：余子式与代数余子式只与元素 $a_ij$ 的位置有关，而与 $a_ij$ 本身的数值无关。

📐 行列式展开定理（拉普拉斯展开） ▼

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和：

按第 i 行展开：D = a_i1 A_i1 + a_i2 A_i2 + \dots + a_in A_in 按第 j 列展开：D = a_1j A_1j + a_2j A_2j + \dots + a_nj A_nj 展开定理

而任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零：

a_i1 A_j1 + a_i2 A_j2 + \dots + a_in A_jn = 0 (i \neq j) a_1i A_1j + a_2i A_2j + \dots + a_ni A_nj = 0 (i \neq j)

合并写作： $Σ(k=1 to n) a_ik A_jk = δ_ij \cdot D$ ，其中 $δ_ij$ 为克罗内克符号（ $i = j$ 时为 1，否则为 0）。展开定理是降阶计算行列式的理论基础。

🔧行列式的性质与计算

一、行列式的性质

记 $D$ 为一个 $n$ 阶行列式， $D T$ 为其转置（行列互换所得）。行列式有以下七条基本性质：

📐 行列式的七条性质 ▼

性质 1（转置不变性）：行列式与它的转置行列式相等，即 $D = D T$ 。故凡对行成立的性质对列也成立。

性质 2（互换变号）：互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：若行列式有两行（列）完全相同，则行列式等于零。

性质 3（提公因子）：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子 $k$ 可以提到行列式记号外面，即用一个数 $k$ 乘行列式等于用 $k$ 乘它的某一行（列）的各元素。推论：若某行（列）全为零，则行列式为零。

性质 4（成比例为零）：若行列式有两行（列）的元素成比例，则行列式等于零（含两行相同、某行为零等情形）。

性质 5（可加性 / 拆行）：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则该行列式可拆分为两个行列式之和，其余行（列）不变。

性质 6（倍加不变）：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数 $k$ 后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。这是化简（造零）最常用的性质。

性质 7（异行余子式为零）：行列式任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零（见展开定理）。

二、行列式的基本计算方法

1. 化三角形法

利用性质 6（倍加不变）和性质 2、3，将行列式化为上（下）三角形，则其值等于主对角线元素之积。这是计算数值行列式最基本的方法。

上三角形行列式：D = a₁₁ a₂₂ \dots aₙₙ 三角形

2. 降阶展开法

先用性质 6 将某一行（列）化为只剩一个非零元，再按该行（列）展开，使 $n$ 阶降为 $n-1$ 阶，递推进行。"选择零最多"的行（列）展开可大大减少计算量。

3. 递推法

对含参数的 $n$ 阶行列式（尤其是三对角线等具有递推结构的行列式），按某行（列）展开建立 $D_n$ 与 $D_{n-1}$ 、 $D_{n-2}$ 的递推关系，再求解递推（特征方程法）得到通项。

4. 其他常用技巧

累加法：各列（行）加到第一列（行），提取公因子后再化简。
拆分法：利用性质 5 将行列式拆成若干易于计算的部分。
升（降）阶法：加边（升阶）后化简，或展开降阶。
范德蒙德行列式：熟记公式直接套用。

范德蒙德行列式：V_n = \prod(1 \leq i < j \leq n) (x_j - x_i) 即 | 1 1 \dots 1; x₁ x₂ \dots xₙ; x₁² x₂² \dots xₙ²; ⋮ | = \prod(x_j - x_i) 范德蒙德

💡 行列式计算技巧口诀

"先看零，再造零，后展开。" 具体策略：①观察行列式中是否已有较多零元素或对称结构；②用性质 6（倍加）把某行（列）化为只剩一个非零元——优先选择含 1 或 -1 的行（列）作"主元"以避免分数；③按该行（列）展开降阶。对 $n$ 阶字母型行列式，优先考虑递推法或范德蒙德公式。计算含参数行列式时，注意参数取值使某行（列）成比例的退化情形。

🔢矩阵的基本概念与运算

一、矩阵的概念

📖 定义：矩阵 ▼

由 $m \times n$ 个数 $a_ij (i = 1,\dots,m; j = 1,\dots,n)$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表

A = [ a₁₁ a₁₂ \dots a₁ₙ; a₂₁ \dots a₂ₙ; ⋮; aₘ₁ \dots aₘₙ ]

称为 $m \times n$ 矩阵，记作 $A = (a_ij)_{m×n}$ 或 $A_{m×n}$ 。这 $m\timesn$ 个数称为矩阵 $A$ 的元素。

当 $m = n$ 时称为方阵（ $n$ 阶方阵）；元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$ 。

特殊矩阵：行矩阵、列矩阵、方阵、对角矩阵（ $Λ = diag(λ₁,\dots,λₙ)$ ）、数量矩阵（ $kE$ ）、单位矩阵 $E$ （主对角线为 1，其余为 0）、上（下）三角矩阵、对称矩阵（ $A T = A$ ）、反对称矩阵（ $A T = -A$ ，其主对角线全为 0）。

二、矩阵的线性运算与乘法

加法：同型矩阵才能相加。 $A + B = (a_ij + b_ij)_{m×n}$ 。满足交换律 $A + B = B + A$ 与结合律 $(A + B) + C = A + (B + C)$ 。

数乘： $kA = (k a_ij)_{m×n}$ 。注意 $|kA| = k n |A|$ （n 为 A 的阶数，每个元素都乘 k，共 n! 项提取 n 个 k）。

乘法：设 $A = (a_ij)_{m×s}$ ， $B = (b_ij)_{s×n}$ （A 的列数 = B 的行数），则乘积 $C = AB = (c_ij)_{m×n}$ ，其中

c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + \dots + a_is b_sj = Σ(k=1 to s) a_ik b_kj 矩阵乘法

即乘积矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列元素是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和（"行乘列"）。

矩阵乘法满足的运算律：

结合律： $(AB)C = A(BC)$ 。
数乘结合律： $k(AB) = (kA)B = A(kB)$ 。
分配律： $A(B + C) = AB + AC$ ， $(B + C)A = BA + CA$ 。
单位矩阵： $EA = AE = A$ （E 为相应阶单位阵）。

⚠️ 矩阵乘法的三大陷阱

矩阵乘法不满足交换律：一般 $AB \neq BA$ （甚至 $BA$ 不一定有意义）。因此 $(A + B)² = A² + AB + BA + B²$ 而非 $A² + 2AB + B²$ ； $(A + B)(A - B) = A² - AB + BA - B²$ 而非 $A² - B²$ 。仅当 $AB = BA$ （可交换）时乘法公式才与数系一致。

矩阵乘法不满足消去律： $AB = AC$ 且 $A \neq O$ ，推不出 $B = C$ 。

$AB = O$ 推不出 $A = O$ 或 $B = O$ （两个非零矩阵之积可能为零矩阵）。这是矩阵运算与数的运算最易混淆之处。

三、矩阵的转置与方阵的幂

转置：把矩阵 $A$ 的行换成同序号的列所得矩阵称为 $A$ 的转置 $A T$ 。运算律：

(A T) T = A， (A + B) T = A T + B T ， (kA) T = kA T ， (AB) T = B T A T 转置律

方阵的幂：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，定义 $A k = A\cdotA\cdot\dots\cdotA$ （k 个 A 连乘，k 为正整数），规定 $A 0 = E$ 。满足 $A k A l = A k+l$ ， $(A k) l = A kl$ 。但一般 $(AB) k \neq A k B k$ （除非 $AB = BA$ ）。

方阵的行列式：由 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素构成的行列式称为 $A$ 的行列式，记 $|A|$ 或 $det A$ 。性质：

|A T | = |A|， |kA| = k n |A|， |AB| = |A||B|， |A -1 | = 1/|A| 方阵行列式

其中 $|AB| = |A||B|$ 表明矩阵乘积的行列式等于各自行列式之积（即使 $AB \neq BA$ ，仍有 $|AB| = |BA| = |A||B|$ ）。

🔄逆矩阵

一、逆矩阵的定义

📖 定义：逆矩阵 ▼

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶方阵 $B$ ，使得

AB = BA = E

则称方阵 $A$ 可逆，并称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A -1 = B$ 。

若 $A$ 可逆，则其逆矩阵唯一。

二、伴随矩阵与可逆的充要条件

📖 定义：伴随矩阵 ▼

设 $A = (a_ij)_{n×n}$ ， $A_ij$ 为元素 $a_ij$ 的代数余子式。称矩阵

A* = [ A₁₁ A₂₁ \dots Aₙ₁; A₁₂ A₂₂ \dots Aₙ₂; ⋮; A₁ₙ A₂ₙ \dots Aₙₙ ]

（即代数余子式矩阵的转置）为 $A$ 的伴随矩阵，记作 $A*$ 。

核心关系式： $AA* = A*A = |A|E$ 。

📐 矩阵可逆的充分必要条件 ▼

定理：方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A| \neq 0$ （即 $A$ 为非奇异矩阵）。且当 $A$ 可逆时，

A -1 = (1/|A|) \cdot A* 求逆公式

这给出了用伴随矩阵法求逆的公式。当 $|A| = 0$ 时 $A$ 不可逆（奇异）。 $|A| \neq 0$ 也等价于 $A$ 满秩（ $r(A) = n$ ）。

三、逆矩阵的性质

性质	结论	条件
逆的逆	(A^-1)^-1 = A	A 可逆
数乘的逆	(kA)^-1 = (1/k) A^-1	k ≠ 0，A 可逆
乘积的逆	(AB)^-1 = B^-1A^-1，推广 (A₁A₂…Aₘ)^-1 = Aₘ^-1…A₁^-1	A、B 均可逆
转置的逆	(A^T)^-1 = (A^-1)^T	A 可逆
逆的行列式	\|A^-1\| = 1/\|A\|	A 可逆
幂的逆	(A^k)^-1 = (A^-1)^k = A^-k	A 可逆，k 为整数
伴随可逆	(A*)^-1 = A / \|A\| = (1/\|A\|)A	A 可逆
伴随的行列式	\|A*\| = \|A\|ⁿ⁻¹	n ≥ 2
双重伴随	(A) = \|A\|ⁿ⁻² A	n ≥ 2
伴随关系	A* = \|A\| A^-1， A A* = A* A = \|A\|E	A 可逆

四、矩阵方程

利用逆矩阵可求解矩阵方程。设 $A$ 可逆，常见类型：

AX = B ⟹ X = A -1 B XA = B ⟹ X = BA -1 AXB = C ⟹ X = A -1 CB -1 （A、B 均可逆） 矩阵方程

求解时务必注意左乘还是右乘：在 $AX = B$ 两边左乘 $A -1$ 得 $X = A -1 B$ ；在 $XA = B$ 两边右乘 $A -1$ 得 $X = BA -1$ 。由于乘法不可交换，左乘右乘不可颠倒。

💡 抽象矩阵求逆技巧

遇到抽象矩阵的逆或行列式问题，常利用 $A* = |A|A -1$ 与 $AA* = |A|E$ 进行转化。例如：已知 $A*$ 求 $A -1$ ，可由 $A* = |A|A -1$ 得 $A -1 = A* / |A|$ ，其中 $|A|$ 可由 $|A*| = |A| n-1$ 反求。注意 $|A*| = |A| n-1$ 、 $(A*)* = |A| n-2 A$ 是高频考点。

🪜矩阵的初等变换与初等矩阵

一、三种初等变换

下面三种变换称为矩阵的初等行变换（将"行"换为"列"即得初等列变换，二者统称初等变换）：

对换：对换两行（记 $r_i \leftrightarrow r_j$ ）。
倍乘：用非零常数 $k$ 乘某一行所有元素（记 $r_i \times k$ ， $k \neq 0$ ）。
倍加：把某一行所有元素的 $k$ 倍加到另一行对应元素上（记 $r_i + k r_j$ ）。

若矩阵 $A$ 经有限次初等变换化为 $B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记 $A ~ B$ 。等价满足反身性、对称性、传递性。

二、初等矩阵

📖 定义：初等矩阵 ▼

由单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应三种初等矩阵：

E(i, j)：对换 $E$ 的第 $i$ 、 $j$ 行（列）所得。

E(i(k))：用 $k \neq 0$ 乘 $E$ 的第 $i$ 行（列）所得。

E(ij(k))：把 $E$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行（或将第 $i$ 列的 $k$ 倍加到第 $j$ 列）所得。

📐 初等矩阵的核心定理 ▼

设 $A$ 为 $m\timesn$ 矩阵：

左乘行变换：对 $A$ 施行一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘以相应的 $m$ 阶初等矩阵。

右乘列变换：对 $A$ 施行一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘以相应的 $n$ 阶初等矩阵。

初等矩阵皆可逆，且其逆仍为同类型的初等矩阵：

E(i, j) -1 = E(i, j)， E(i(k)) -1 = E(i(1/k))， E(ij(k)) -1 = E(ij(-k)) 初等矩阵的逆

💡 初等变换的意义

初等变换是线性代数的核心工具，贯穿求逆矩阵、求秩、解线性方程组、求向量组极大无关组、化二次型为标准形等几乎所有计算。它把"对矩阵的操作"转化为"用初等矩阵左乘/右乘"，是抽象问题（如 $PA = B$ 中 $P$ 的求法、行列式 $|PA|$ 的计算）与具体计算之间的桥梁。务必牢记"行变换左乘、列变换右乘"这一对应关系。

三、行阶梯形与行最简形

行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线下方全为零；每个台阶只有一行，台阶竖直方向的高度为一行；台阶所在行的第一个非零元（主元）的列指标随行指标递增。

行最简形矩阵：是行阶梯形，且各非零行的主元均为 1，主元所在列的其余元素全为 0。

任何矩阵经有限次初等行变换都可化为唯一的行最简形（行阶梯形不唯一，行最简形唯一）。

等价的刻画

设 $A$ 、 $B$ 为 $m\timesn$ 矩阵，则下列等价：

$A$ 与 $B$ 等价（ $A ~ B$ ）；
存在 $m$ 阶可逆阵 $P$ 和 $n$ 阶可逆阵 $Q$ ，使 $PAQ = B$ ；
$r(A) = r(B)$ （同型矩阵等价当且仅当秩相等）。

四、用初等变换求逆矩阵

对 $n$ 阶可逆矩阵 $A$ ，构造 $n\times2n$ 矩阵 $(A | E)$ ，对其施行初等行变换，把左半的 $A$ 化为单位阵 $E$ ，此时右半即化为 $A -1$ ：

(A | E) —初等行变换\to (E | A -1) 初等变换求逆

若 $A$ 不能化为 $E$ （出现全零行），则 $A$ 不可逆。此法也可用于解矩阵方程 $AX = B$ ：对 $(A | B)$ 作初等行变换，化为 $(E | A -1 B)$ ，即得 $X = A -1 B$ 。

⚠️ 只能行变换

用 $(A | E) \to (E | A -1)$ 求逆时，只能施行初等行变换，不能混用列变换。因为右乘初等矩阵会同时作用于 $A$ 和 $E$ ，破坏 $E$ 记录变换的功能。同理 $AX = B$ 用 $(A|B)$ 行变换；若为 $XA = B$ ，则应转置后对 $(A T |B T)$ 行变换，或用列变换处理。

📊矩阵的秩

一、秩的定义

📖 定义：矩阵的秩 ▼

在 $m\timesn$ 矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行 $k$ 列（ $k \leq min(m, n)$ ），位于交叉处的 $k²$ 个元素按原相对位置构成的 $k$ 阶行列式，称为 $A$ 的 $k$ 阶子式。

若矩阵 $A$ 中存在一个 $r$ 阶子式不为零，而所有 $r+1$ 阶子式（若存在）全为零，则称 $r$ 为 $A$ 的秩，记作 $r(A)$ 或 $R(A)$ 。规定零矩阵的秩为 0。

等价说法： $r(A)$ 等于 $A$ 中不等于零的子式的最高阶数。

由定义，若 $A$ 为 $m\timesn$ 矩阵，则 $0 \leq r(A) \leq min(m, n)$ 。当 $r(A) = min(m, n)$ 时称 $A$ 为满秩矩阵。对 $n$ 阶方阵 $A$ ， $A$ 可逆 ⟺ $|A| \neq 0$ ⟺ $r(A) = n$ （满秩）。此外 $r(A T) = r(A)$ 。

💡 秩的等价刻画

矩阵的秩还等于其行向量组的极大线性无关组所含向量个数（行秩），也等于列向量组的极大线性无关组所含向量个数（列秩），且行秩 = 列秩 = 秩。这一结论是后续"向量与线性方程组"章节的核心桥梁（见第九章）。

二、用初等变换求秩

用定义求秩需检查大量子式，不实用。实际求秩用初等变换法：

对 $A$ 施行初等行变换化为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的个数即为 $r(A)$ 。

📐 初等变换不改变秩 ▼

定理：初等变换不改变矩阵的秩。即若 $A ~ B$ （等价），则 $r(A) = r(B)$ 。

推论：若 $P$ 、 $Q$ 为可逆矩阵，则 $r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) = r(A)$ 。即用可逆矩阵左乘、右乘不改变秩。这也是"等价 ⟺ 秩相等"的依据。

三、秩的重要性质与不等式

📐 重要的秩的不等式 ▼

设 $A$ 为 $m\timesn$ 矩阵， $B$ 为 $n\timess$ 矩阵（相应维度匹配）：

① r(A + B) \leq r(A) + r(B) ② r(AB) \leq min{ r(A), r(B) } ③ 若 AB = O，则 r(A) + r(B) \leq n ④ （西尔维斯特 Sylvester 不等式） r(AB) \geq r(A) + r(B) - n ⑤ r(A) = r(A T) = r(A T A) = r(AA T)（A 为实矩阵） ⑥ 若 P、Q 可逆，则 r(PAQ) = r(A) 秩不等式

其中 ③ 的直观含义：若 $AB = O$ ，则 $B$ 的列向量都是 $Ax = 0$ 的解，解空间维数 $\geq r(B)$ ，而 $Ax = 0$ 解空间维数 $= n - r(A)$ ，故 $r(B) \leq n - r(A)$ ，即 $r(A) + r(B) \leq n$ 。这是考试高频结论。

其他常用结论：

$max{r(A), r(B)} \leq r(A, B) \leq r(A) + r(B)$ ，其中 $(A, B)$ 为 A、B 横向拼接的增广矩阵。
$r(A) - r(B) \leq r(A, B) \leq r(A) + r(B)$ ， $(A, B)$ 纵向拼接同理。
若 $A$ 为 $m\timesn$ ， $B$ 为 $n\timess$ ，则 $r(AB) \geq r(A) + r(B) - n$ （即 Sylvester）。
若 $A$ 为 $n$ 阶方阵， $A² = A$ （幂等），则 $r(A) + r(A - E) = n$ 。

📝典型例题

📝 例题1：n 阶行列式的递推计算

题目：计算

n

阶三对角行列式
D_n = | 2a 1   0 ⋯ 0 |
        | a² 2a 1 ⋯ 0 |
        | 0   a² 2a ⋯ 0 |
        | ⋮              ⋮ |
        | 0 ⋯     a² 2a |

解答：

分析：该行列式主对角线为 2a，相邻副对角线为 1 和 a²，具有递推结构，用展开法建立递推关系。

按第一行展开（D_1 = 2a，D_2 = (2a)(2a) − 1·a² = 4a² − a² = 3a²）：

$D_n = 2a·D_{n-1} − 1·M_{12}$ ，其中 M_{12}（划去第 1 行第 2 列）第一列为 $[a², 0, \dots, 0] T$ ，按该列展开得 $M_{12} = a²·D_{n-2}$ 。代数余子式符号 $A_{12} = (-1)1+2M_{12} = −M_{12}$ ，故

$D_n = 2a·D_{n-1} − a²·D_{n-2}$ 。

解递推：特征方程 $r² - 2ar + a² = 0$ ，即 $(r - a)² = 0$ ，有二重根 $r = a$ 。设 $D_n = (C₁ + C₂ n)a n$ 。

由 D_1 = 2a： $(C₁ + C₂)a = 2a ⟹ C₁ + C₂ = 2$ 。

由 D_2 = 3a²： $(C₁ + 2C₂)a² = 3a² ⟹ C₁ + 2C₂ = 3$ 。

解得 $C₂ = 1, C₁ = 1$ 。因此

$D_n = (1 + n)a n = (n + 1)a n$ 。

验证：D_1 = 2a ✓，D_2 = 3a² ✓，D_3 = 2a·3a² − a²·2a = 6a³ − 2a³ = 4a³ = (3+1)a³ ✓。

📝 例题2：伴随矩阵法求逆矩阵

题目：设

A = [ 1 2 3; 2 3 1; 3 1 2 ]

，用伴随矩阵法求

A -1

。

解答：

第一步：求 |A|。

$|A| = 1\cdot(3\cdot2 - 1\cdot1) - 2\cdot(2\cdot2 - 1\cdot3) + 3\cdot(2\cdot1 - 3\cdot3) = 1\cdot5 - 2\cdot1 + 3\cdot(-7) = 5 - 2 - 21 = -18 \neq 0$

故 A 可逆。

第二步：求各元素的代数余子式。

A₁₁ = 5，A₁₂ = −1，A₁₃ = −7；A₂₁ = −1，A₂₂ = −7，A₂₃ = 5；A₃₁ = −7，A₃₂ = 5，A₃₃ = −1。

第三步：写出伴随矩阵 A*（代数余子式矩阵的转置）。

$A* = [ 5 -1 -7; -1 -7 5; -7 5 -1 ]$ （本题代数余子式矩阵恰好对称）。

第四步：求逆。由 $A -1 = A* / |A| = (-1/18) A*$ ：

$A -1 = [ -5/18 1/18 7/18; 1/18 7/18 -5/18; 7/18 -5/18 1/18 ]$ 。

验证：取 A 第 1 行 $[1,2,3]$ 乘 A^-1 第 1 列 $[-5/18, 1/18, 7/18] T$ = $(-5+2+21)/18 = 1$ ✓，其余位置类似可得 0，故结果正确。

📝 例题3：矩阵方程的求解

题目：设

A = [ 1 2; 3 4 ]

，解矩阵方程

AX = A + 2E

，求矩阵

X

。

解答：

分析：方程含 $AX$ 与 $A$ ，需把 X 分离出来。因 $A$ 可逆（ $|A| = 4 - 6 = -2 \neq 0$ ），可左乘 $A -1$ 。

第一步：求 A^-1。由伴随矩阵法（二阶可直接用主对调、副变号、除以 |A|）：

$A -1 = (1/|A|) \cdot [ 4 -2; -3 1 ] = (-1/2) \cdot [ 4 -2; -3 1 ] = [ -2 1; 3/2 -1/2 ]$ 。

第二步：化简方程。由 $AX = A + 2E$ ，左乘 $A -1$ ：

$X = A -1 (A + 2E) = A -1 A + 2A -1 = E + 2A -1$ 。

第三步：计算 X。

$2A -1 = [ -4 2; 3 -1 ]$ ，故

$X = E + 2A -1 = [ 1 0; 0 1 ] + [ -4 2; 3 -1 ] = [ -3 2; 3 0 ]$ 。

验证： $AX = [ 1 2; 3 4 ][ -3 2; 3 0 ] = [ 1\cdot(-3)+2\cdot3, 1\cdot2+2\cdot0; 3\cdot(-3)+4\cdot3, 3\cdot2+4\cdot0 ] = [ 3 2; 3 6 ]$ ，而 $A + 2E = [ 3 2; 3 6 ]$ ，两边相等 ✓。

📝 例题4：含参数矩阵的秩

题目：设

A = [ 1 1 1; 1 2 1; 2 3 λ ]

，问

λ

取何值时

r(A) = 2

，取何值时

r(A) = 3

？

解答：

方法一：用行列式判断（方阵）。

$|A| = 1\cdot(2λ - 3) - 1\cdot(λ - 2) + 1\cdot(3 - 4) = 2λ - 3 - λ + 2 - 1 = λ - 2$ 。

当 $λ \neq 2$ 时， $|A| \neq 0$ ，故 $r(A) = 3$ （满秩）。

当 $λ = 2$ 时， $|A| = 0$ ，秩降为 2 或更低，需进一步判断。

方法二：初等行变换（验证 λ = 2 时）。代入 $λ = 2$ ：

$A = [ 1 1 1; 1 2 1; 2 3 2 ] \to$ （r₂ − r₁，r₃ − 2r₁） $\to [ 1 1 1; 0 1 0; 0 1 0 ] \to$ （r₃ − r₂） $\to [ 1 1 1; 0 1 0; 0 0 0 ]$ 。

行阶梯形有 2 个非零行，故 $r(A) = 2$ 。

结论：当 $λ = 2$ 时 $r(A) = 2$ ；当 $λ \neq 2$ 时 $r(A) = 3$ 。

📝 自测练习

完成以下5道选择题，检验本章学习效果。每题作答后即时显示对错与解析。

1设4阶行列式 D 的第2行元素依次为 1, 0, −1, 2，第2行元素的代数余子式依次为 2, −3, 1, 4，则 D =

A 9
B 4
C −9
D 0

解析：按第2行展开，D = a₂₁A₂₁ + a₂₂A₂₂ + a₂₃A₂₃ + a₂₄A₂₄ = 1·2 + 0·(−3) + (−1)·1 + 2·4 = 2 − 1 + 8 = 9。注意代数余子式已含符号 (−1)^(i+j)，直接相乘求和即可。正确答案为 A。

2设 A 为3阶矩阵，

|A| = -2

，则

|2A|

A −4
B −16
C 16
D −8

解析：|kA| = kⁿ|A|，其中 n 为 A 的阶数。这里 n = 3，故 |2A| = 2³·|A| = 8·(−2) = −16。注意不是 2|A|，因为 kA 的每个元素都乘以 k，共提取 n 个 k。正确答案为 B。

3设 A 为3阶矩阵，

|A| = 1/2

，A* 为 A 的伴随矩阵，则

|(1/2)A*|

A 1/32
B 1/8
C 1/4
D 1/16

解析：先求 |A*| = |A|^(n−1) = (1/2)² = 1/4（n=3）。再由 |kA*| = kⁿ|A*|，得 |(1/2)A*| = (1/2)³·(1/4) = (1/8)·(1/4) = 1/32。正确答案为 A。

4设 A、B、C 均为 n 阶方阵，下列命题正确的是：

A 若 AB = O 且 A ≠ O，则 B = O
B 若 AB = AC 且 A ≠ O，则 B = C
C 若 A 可逆且 AB = AC，则 B = C
D 矩阵乘法满足交换律 AB = BA

解析：A 错（AB=O 推不出 B=O，如 A=[1 0;0 0]，B=[0 0;0 1]）；B 错（不满足消去律，需 A 可逆）；C 对（A 可逆时两边左乘 A⁻¹ 即得 B=C）；D 错（矩阵乘法一般不可交换）。正确答案为 C。

5设 A 为3阶非零矩阵，且

A² = O

，则

r(A) =

解析：A 为 3 阶且 A² = A·A = O，由"AB=O 则 r(A)+r(B)≤n"（n=3）得 2r(A) ≤ 3，故 r(A) ≤ 1。又 A ≠ O，故 r(A) ≥ 1。因此 r(A) = 1。正确答案为 B。

📖 章节小结

行列式的本质是一个数。其定义为取自不同行不同列 n 个元素乘积的代数和（共 n! 项，正负各半）。掌握七条性质（转置不变、互换变号、提公因子、成比例为零、可加性、倍加不变、异行余子式为零）是计算的基础，其中"倍加不变"（性质6）是化简造零的核心工具。
行列式计算的核心方法是"化三角形法"和"降阶展开法"。策略口诀："先看零、再造零、后展开"——用倍加把某行（列）化为只剩一个非零元，再按该行（列）展开降阶。对 n 阶字母型（如三对角）行列式用递推法，建立 D_n 与 D_{n-1}、D_{n-2} 的递推关系后用特征方程求解。范德蒙德行列式公式应熟记。
矩阵运算要注意与数的运算的差异：乘法不满足交换律、消去律，AB=O 推不出 A=O 或 B=O。因此 (A+B)² ≠ A²+2AB+B²（除非 AB=BA）。转置满足 (AB)^T=B^TA^T。方阵行列式满足 |AB|=|A||B|、|kA|=kⁿ|A|。
逆矩阵的核心是 A 可逆 ⟺ |A|≠0 ⟺ r(A)=n（满秩），且 A^-1=(1/|A|)A*。务必牢记 AA*=A*A=|A|E 这一桥梁关系，以及 |A*|=|A|^n-1、(A*)*=|A|^n-2A 等高频公式。求逆方法：低阶用伴随矩阵法，高阶用初等行变换法 (A|E)→(E|A^-1)。解矩阵方程 AX=B 时左乘 A^-1 得 X=A^-1B，注意左乘右乘不可颠倒。
初等变换与初等矩阵是贯穿线代全篇的工具。三种初等变换（对换、倍乘、倍加）对应三种初等矩阵，"行变换左乘、列变换右乘"是对应法则。初等矩阵皆可逆且逆仍为同类型。用初等变换求逆只能用行变换。矩阵等价 ⟺ 存在可逆 P、Q 使 PAQ=B ⟺ 秩相等。
矩阵的秩是不为零子式的最高阶数，也等于行（列）向量组极大无关组所含向量个数。求秩用初等变换化为行阶梯形，非零行数即秩。初等变换（可逆矩阵乘法）不改变秩。重点掌握秩的不等式：r(A+B)≤r(A)+r(B)、r(AB)≤min{r(A),r(B)}、AB=O ⟹ r(A)+r(B)≤n、Sylvester 不等式 r(AB)≥r(A)+r(B)−n。
备考建议：本章是线代计算的基本功。复习重点放在①数值与含参行列式的计算（练熟化三角形与降阶展开）；②抽象矩阵问题（用 AA*=|A|E 和初等矩阵左乘右乘转化）；③伴随矩阵相关公式（|A*|、(A*)*、(A*)^-1）；④矩阵方程求解；⑤秩的性质与不等式的灵活运用。务必概念清晰、运算准确，为后续章节打好基础。

← 上一章

常微分方程

向量与线性方程组