常微分方程
一阶与高阶微分方程——建模与求解的核心工具
考纲要求
常微分方程是考研数学一的必考内容，也是联系微积分与实际应用的重要桥梁。本章要求考生理解微分方程的基本概念，熟练掌握一阶微分方程的各种解法，掌握可降阶方程的换元技巧，深入理解线性微分方程解的结构理论，并能熟练求解二阶常系数线性微分方程。此外，数学一还要求掌握欧拉方程的解法，并能运用微分方程解决几何与物理中的简单实际问题。
| 知识点 | 考试要求 | 考查层次 |
|---|---|---|
| 微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 | 了解微分方程的基本概念 | 了解 |
| 变量可分离的微分方程 | 掌握变量可分离的微分方程的解法 | 掌握 |
| 齐次微分方程 | 掌握齐次微分方程的解法 | 掌握 |
| 一阶线性微分方程 | 掌握一阶线性微分方程的解法（公式法与常数变易法） | 掌握 |
| 伯努利方程 | 会解伯努利方程 | 会 |
| 可用简单的变量代换求解的某些一阶微分方程 | 会用简单的变量代换解某些一阶微分方程 | 会 |
| 可降阶的高阶微分方程 | 会用降阶法解三类可降阶方程 | 会 |
| 线性微分方程解的性质及解的结构定理 | 理解线性微分方程解的性质及解的结构 | 理解 |
| 二阶常系数齐次线性微分方程 | 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 | 掌握 |
| 二阶常系数非齐次线性微分方程（自由项限定类型） | 会解自由项为多项式、指数函数、正余弦函数的二阶常系数非齐次方程 | 会 |
| 欧拉方程 | 会解欧拉方程（数学一要求） | 会 |
| 微分方程的简单应用 | 会用微分方程解决一些简单的应用问题 | 会 |
常微分方程在考研数学一中约占 8% 的分值，是每年必考内容。考查形式以综合解答题为主，常见题型包括：一阶方程求解（选择题/填空题）、二阶常系数方程求解（解答题）、微分方程的几何/物理应用（解答题）。近年来常将微分方程与变限积分、偏导数、级数结合命题，综合性增强。欧拉方程作为数学一特有考点也时有出现。掌握"识别方程类型→选择解法→准确计算"的解题流程是得分关键。
微分方程的基本概念
一、微分方程的定义
含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。若未知函数是一元函数，则称为常微分方程；若未知函数是多元函数，方程中含有偏导数，则称为偏微分方程。
常微分方程的一般形式为：
其中 y = y(x) 是未知函数，x 是自变量，y', y'', …, y⁽ⁿ⁾ 是 y 对 x 的各阶导数。
二、微分方程的阶
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。
例如：y' + 2xy = 0 是一阶方程；y'' + 3y' + 2y = eˣ 是二阶方程；y''' = x 是三阶方程。
考研主要考查一阶和二阶微分方程。
三、微分方程的解
设函数 y = φ(x) 在某区间 I 上有 n 阶连续导数，若将其代入微分方程后能使方程成为恒等式，即
则称 y = φ(x) 为该微分方程在区间 I 上的解。
通解：若微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数等于方程的阶数，则称此解为微分方程的通解。
特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解（不含任意常数），称为微分方程的特解。
四、初始条件与初值问题
用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件（定解条件）。对于 n 阶方程，需要 n 个初始条件：
求微分方程满足初始条件的特解的问题，称为初值问题（也称 Cauchy 问题）。例如一阶方程的初值问题记为：
通解中的任意常数必须是相互独立的，即不能通过合并减少个数。例如 y = C₁eˣ + C₂eˣ = (C₁+C₂)eˣ 中 C₁, C₂ 可合并为 C = C₁+C₂，故实际只含一个独立常数，不能作为二阶方程的通解。验证常数独立性是判断通解正确性的重要环节。
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y') = 0 或 y' = f(x, y)。考研要求掌握以下几种标准类型及其解法，解题的关键是正确识别方程类型，然后套用对应的解法。
一、可分离变量的微分方程
形如
的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程。
解法（分离变量法）：将含 y 的因子与 dy 放一边，含 x 的因子与 dx 放另一边，两边同时积分：
解出 y 即得通解。注意：若 g(y₀) = 0，则 y = y₀（常数解）也是方程的解，称为奇解，分离变量时可能丢失，需单独补回。
二、齐次微分方程
形如
的一阶微分方程称为齐次微分方程（即右端是 y/x 的函数）。
判别方法：若 f(x, y) 满足 f(tx, ty) = f(x, y)（即 x, y 同次齐次），则 f(x, y) = φ(y/x)。
解法（变量代换法）：令 u = y/x，即 y = ux，则 dy/dx = u + x·du/dx，代入原方程得：
这是关于 u 和 x 的可分离变量方程：
两边积分后，再将 u = y/x 代回，即得通解。
三、一阶线性微分方程
形如
的方程称为一阶线性微分方程。当 Q(x) ≡ 0 时称为齐次的，当 Q(x) ≠ 0 时称为非齐次的。
解法一：公式法。通解公式为：
解法二：常数变易法。先求齐次方程 y' + P(x)y = 0 的通解 y = C·e^(-∫Pdx)，再将常数 C 变易为待定函数 C(x)，设 y = C(x)·e^(-∫Pdx) 代入非齐次方程解出 C(x)，回代即得通解。
常数变易法是处理非齐次线性方程的一般方法：把齐次方程通解中的任意常数"变易"为 x 的函数，再代入非齐次方程确定这个函数。这一思想可推广到高阶线性方程和线性方程组，是线性微分方程理论的核心方法。考研中遇到非标准形式的线性方程，常数变易法比死记公式更灵活可靠。
四、伯努利方程
形如
的方程称为伯努利方程。当 n = 0 或 n = 1 时退化为线性方程。
解法（变量代换化为线性方程）：两边同除以 yⁿ（y ≠ 0）：
令 z = y⁻ⁿ⁺¹ = y^(1-n)，则 dz/dx = (1-n)·y⁻ⁿ·dy/dx，代入得：
→ dz/dx + (1-n)·P(x)·z = (1-n)·Q(x)
这是关于 z 的一阶线性方程，用公式法求出 z，再由 z = y^(1-n) 解出 y。注意检验 y = 0 是否为解。
五、一阶微分方程类型与解法对照表
| 方程类型 | 标准形式 | 解法 | 关键变换 |
|---|---|---|---|
| 可分离变量 | y' = f(x)g(y) | 分离变量后两边积分 | g(y)dy = f(x)dx |
| 齐次方程 | y' = φ(y/x) | 换元化为可分离变量 | u = y/x |
| 一阶线性 | y' + P(x)y = Q(x) | 公式法 / 常数变易法 | 积分因子 e^(∫Pdx) |
| 伯努利方程 | y' + P(x)y = Q(x)yⁿ | 换元化为一阶线性 | z = y^(1-n) |
1. 先看能否分离变量：直接分离或通过简单代数变形后分离。
2. 判断是否齐次：检查右端 f(x,y) 是否为 y/x 的函数（同次齐次）。
3. 判断是否线性：整理为 y' + P(x)y = Q(x) 的标准形式，注意 y' 的系数必须为 1。
4. 判断是否伯努利：右端含 yⁿ 因子时考虑伯努利代换。
5. 必要时交换 x、y 的地位：把 x 视为 y 的函数，有时可将非线性方程化为关于 x(y) 的线性方程。
可降阶的高阶方程
对于某些特殊形式的高阶微分方程，可以通过变量代换降低阶数，化为较低阶的方程来求解。考研要求掌握以下三类可降阶的二阶方程。降阶的核心思想是引入新变量替代 y'，注意 y'' 的不同表达方式。
一、y'' = f(x) 型
方程右端只含自变量 x。解法：直接连续积分。
y = ∫ [∫ f(x) dx] dx + C₁x + C₂
每积分一次引入一个任意常数，二阶方程积分两次得到含 C₁, C₂ 的通解。此法可推广到 y⁽ⁿ⁾ = f(x)，积分 n 次即可。
二、y'' = f(x, y') 型（缺 y 型）
方程中不显含未知函数 y。解法：令 y' = p(x)，则 y'' = p'。
代入得：dp/dx = f(x, p) —— 关于 p 的一阶方程
解此一阶方程（视方程类型选解法）得 p = p(x, C₁)，即 y' = p(x, C₁)，再积分一次：
三、y'' = f(y, y') 型（缺 x 型）
方程中不显含自变量 x。解法：令 y' = p(y)，将 y 视为自变量。
关键在于 y'' 的表达：由 y' = p(y)，利用复合函数求导（p 是 y 的函数，y 又是 x 的函数）：
代入原方程得：
解此一阶方程得 p = p(y, C₁)，即 dy/dx = p(y, C₁)，这是关于 y 和 x 的可分离变量方程，分离变量后积分即得通解：
这是可降阶方程最易混淆之处：
(1) 缺 y 型 y'' = f(x, y')：令 y' = p(x)，则 y'' = p'（p 直接对 x 求导）；
(2) 缺 x 型 y'' = f(y, y')：令 y' = p(y)，则 y'' = p · dp/dy（p 对 y 求导，再乘 p）。
两者换元方式不同，y'' 的表达式也不同，必须根据"缺谁"来选择正确的代换。
降阶求出 p 后，不能直接把 p 当作 y 的解。还需由 y' = p 再积分一次才能得到 y。每降一阶引入一个任意常数，二阶方程最终通解应含两个独立的任意常数。若给了初始条件，可在求出 p 后先用初始条件定 C₁，再积分定 C₂，可简化计算。
二阶常系数线性微分方程
形如 y'' + py' + qy = f(x)（p, q 为常数）的方程称为二阶常系数线性微分方程。当 f(x) ≡ 0 时为齐次方程，当 f(x) ≠ 0 时为非齐次方程。这是考研的核心考点。
一、解的结构定理
定理1（齐次通解）：设 y₁(x), y₂(x) 是齐次方程 y'' + py' + qy = 0 的两个线性无关的特解，则齐次方程的通解为：
定理2（非齐次通解）：设 y*(x) 是非齐次方程 y'' + py' + qy = f(x) 的一个特解，Y 是对应齐次方程的通解，则非齐次方程的通解为：
定理3（叠加原理）：若 y₁* 是 y''+py'+qy = f₁(x) 的特解，y₂* 是 y''+py'+qy = f₂(x) 的特解，则 y₁* + y₂* 是 y''+py'+qy = f₁(x)+f₂(x) 的特解。
由解的结构定理，求非齐次方程通解分两步：① 求齐次通解 Y（特征方程法）；② 求非齐次特解 y*（待定系数法）。两者相加即为所求。这一"通解 + 特解"的结构是线性微分方程求解的统一框架。
二、齐次方程：特征方程法
对于齐次方程 y'' + py' + qy = 0，猜测形如 y = e^(rx) 的解，代入得 (r² + pr + q)e^(rx) = 0，由于 e^(rx) ≠ 0，故 r 必须满足：
此代数方程称为微分方程的特征方程，其根 r 称为特征根。根据特征根的三种情况，齐次通解有不同形式。
| 特征根情况 | 判别条件 | 齐次通解形式 |
|---|---|---|
| 两个不相等实根 r₁ ≠ r₂ | p² - 4q > 0 | Y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x) |
| 两个相等实根 r₁ = r₂ = r | p² - 4q = 0 | Y = (C₁ + C₂x)e^(rx) |
| 一对共轭复根 r = α ± βi | p² - 4q < 0 其中 α = -p/2, β = √(4q-p²)/2 | Y = e^(αx)(C₁cos βx + C₂sin βx) |
当特征方程有重根 r₁ = r₂ = r 时，e^(rx) 只给出齐次方程的一个特解，另一个线性无关的特解是 x·e^(rx)（而非另一个 e^(rx)，因为两者线性相关）。故通解为 (C₁ + C₂x)e^(rx)，切勿写成 C₁e^(rx) + C₂e^(rx)（退化为一项）。
三、非齐次方程：待定系数法
对于非齐次方程 y'' + py' + qy = f(x)，当自由项 f(x) 为特定形式时，可用待定系数法（比较系数法）求特解 y*。其思想是根据 f(x) 的形式设出特解的相同结构，再代入方程确定待定系数。
其中 Pm(x) 是 m 次多项式，λ 为常数（可为 0）。设特解形式为：
其中 Qm(x) 是与 Pm(x) 同次（m 次）的待定多项式，k 是 λ 作为特征方程根的重数：
- 若 λ 不是特征根，取 k = 0；
- 若 λ 是单特征根，取 k = 1；
- 若 λ 是重特征根，取 k = 2。
将 y* 代入原方程，比较同次幂系数，解线性方程组确定 Qm(x) 的系数。
设 m = max(l, n)，特解形式设为：
其中 Rm(x), Sm(x) 都是 m 次待定多项式，k 是 λ ± ωi 作为特征方程根的重数：
- 若 λ ± ωi 不是特征根，取 k = 0；
- 若 λ ± ωi 是特征根（必为单根），取 k = 1。
注意：即使 f(x) 中只含 cos（或只含 sin），特解仍需同时设 cos 和 sin 两项，因为求导会产生两种函数。
1. 先求特征根：这是判断 k 值的前提。
2. 正确设特解形式：同次多项式 + 乘 xᵏ 调整。
3. cos 和 sin 成对出现：类型二无论原方程含何种，特解都设两项。
4. 叠加原理处理组合自由项：f = f₁ + f₂ 时分别求特解再相加。
5. 验证：将所求特解代回原方程检验是否满足。
高阶线性微分方程解的结构
本节将二阶情形的解的结构推广到一般的 n 阶线性微分方程，这是理解线性方程求解理论的基础。考虑 n 阶线性微分方程的一般形式：
一、线性相关与线性无关
设 y₁(x), y₂(x), …, yₙ(x) 是定义在区间 I 上的 n 个函数。若存在 n 个不全为零的常数 k₁, k₂, …, kₙ，使得对一切 x ∈ I 有
则称这 n 个函数在 I 上线性相关；否则（即上式仅当所有 kᵢ = 0 时成立）称为线性无关。
两个函数的判别：若 y₁/y₂ ≠ 常数（即比值不是常数），则 y₁, y₂ 线性无关；若 y₁/y₂ = 常数，则线性相关。
判断 n 个函数是否线性无关，可用朗斯基行列式：
若 n 个函数是齐次线性方程的解，则它们线性无关的充要条件是 W(x) ≠ 0（在某点或恒不为零）。考研中主要用两个函数的比值法判断。
二、齐次方程通解的结构
设 y₁(x), y₂(x), …, yₙ(x) 是 n 阶齐次线性方程
的 n 个线性无关的解（称为基础解系），则该齐次方程的通解为：
其中 C₁, C₂, …, Cₙ 为任意常数。通解中任意常数的个数等于方程的阶数，这正是通解定义中"独立常数个数 = 阶数"的来源。
三、非齐次方程通解的结构
设 y*(x) 是 n 阶非齐次线性方程
的一个特解，Y = C₁y₁ + … + Cₙyₙ 是对应齐次方程的通解，则非齐次方程的通解为：
即非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解。这一结构对所有线性微分方程（常系数或变系数）均成立。
叠加原理适用于线性方程，对非线性方程不成立。例如 y'' + y² = f₁ + f₂（非线性）就不能分别求解再相加。判断方程是否线性是应用解的结构定理的前提：方程关于 y, y', …, y⁽ⁿ⁾ 必须是一次式。
微分方程的应用
微分方程是联系数学与实际问题的纽带，考研常以应用题形式考查建立微分方程并求解的能力。应用题的关键是根据题意正确建立微分方程和初始条件，然后选用恰当方法求解。
一、几何应用
几何应用通常涉及曲线的切线、法线、面积、体积等几何量与未知曲线 y(x) 的关系。常见切入点：
- 切线斜率：切线斜率即 y'，题目中"切线斜率等于…"直接给出 y' 的方程。
- 切线方程：点 (x₀, y₀) 处切线 Y - y₀ = y'(x₀)(X - x₀)，利用切线性质（过定点、截距等）建立方程。
- 法线方程：法线斜率为 -1/y'。
- 曲率：K = |y''| / (1 + y'²)^(3/2)，涉及 y' 和 y''。
- 旋转体体积、面积：含积分的关系式，对上限求导可消去积分号得到微分方程。
二、物理应用
物体温度 T(t) 的变化率与物体温度和环境温度 Tₐ 之差成正比：
这是一阶线性（也是可分离变量）方程，解为 T(t) = Tₐ + (T₀ - Tₐ)e^(-kt)，其中 T₀ = T(0)。
放射性物质的质量 N(t) 的衰变速率与当前质量成正比：
解为 N(t) = N₀e^(-λt)。半衰期 T₁/₂ = ln2/λ。人口增长、细胞繁殖等满足类似方程 dN/dt = rN（r > 0，指数增长）。
质点运动满足 F = ma = m·d²x/dt²，其中合力 F 可含弹性力 -kx、阻尼力 -c·dx/dt、外力 f(t) 等。由此建立的方程常为二阶常系数线性方程：
例如弹簧振子的自由振动 mx'' + kx = 0（简谐运动），阻尼振动 mx'' + cx' + kx = 0，受迫振动 mx'' + cx' + kx = F₀cos ωt。
三、建模的一般步骤
第一步：设未知函数。根据题意，设所求量为未知函数（如 y(x) 或 T(t)），明确自变量和因变量。
第二步：建立微分关系。利用几何关系（切线、法线、面积等）或物理定律（牛顿定律、冷却定律、衰变定律等），找出未知函数及其导数满足的关系式。
第三步：写出初始条件。根据题目给出的特定时刻（位置）的值，确定初始条件。
第四步：求解微分方程。判别方程类型，选择适当解法，求出通解。
第五步：代入初始条件定特解。由初始条件确定通解中的任意常数，得到所求特解。
第六步：回答问题。根据题目要求作答，注意物理意义和单位。
1. 含积分的关系式：如"曲线与 x 轴围成面积等于…"，列出含变限积分的等式后，两边对 x 求导消去积分号，得到微分方程。
2. 初始条件的确定：题目中"过某点"、"在某时刻温度为…"等隐含初始条件，须正确提取。
3. 方向与符号：注意变化率的方向（增长为正、衰减为负），符号错误会导致方程错误。
4. 变量的一致性：确保方程中自变量统一，不要混用 x 和 t。
典型例题
分析：方程可整理为 y' - [2/(x+1)]y = (x+1)^(5/2)，是一阶线性方程 y' + P(x)y = Q(x) 的标准形式，其中 P(x) = -2/(x+1)，Q(x) = (x+1)^(5/2)。用通解公式。
第一步：求积分因子。
∫P(x)dx = ∫ -2/(x+1) dx = -2ln|x+1|，故 e^(-∫Pdx) = e^(2ln|x+1|) = (x+1)²。
第二步：套用通解公式。
y = e^(-∫Pdx)·[∫ Q(x)·e^(∫Pdx) dx + C]
其中 e^(∫Pdx) = e^(-2ln|x+1|) = (x+1)⁻²，故：
∫ Q(x)·e^(∫Pdx) dx = ∫ (x+1)^(5/2)·(x+1)⁻² dx = ∫ (x+1)^(1/2) dx = (2/3)(x+1)^(3/2)
第三步：写出通解。
y = (x+1)²·[(2/3)(x+1)^(3/2) + C] = (2/3)(x+1)^(7/2) + C(x+1)²
验证：对 y = (2/3)(x+1)^(7/2) + C(x+1)²，求导得 y' = (7/3)(x+1)^(5/2) + 2C(x+1)，代入原方程左边 y' - 2y/(x+1) = (7/3)(x+1)^(5/2) + 2C(x+1) - 2[(2/3)(x+1)^(5/2) + C(x+1)] = (7/3 - 4/3)(x+1)^(5/2) = (x+1)^(5/2)，等于右边，验证正确。
分析：方程 y'' + (y')³ + y' = 0 中不显含 y，属于 y'' = f(x, y') 型（实际还不显含 x，但按缺 y 处理更直接）。令 y' = p(x)，则 y'' = p'。
第一步：换元降阶。令 y' = p，方程化为：
p' + p³ + p = 0，即 dp/dx = -p(p² + 1)
这是关于 p 和 x 的可分离变量方程。
第二步：分离变量并积分。
dp / [p(p² + 1)] = -dx
左边用部分分式分解：1/[p(p²+1)] = 1/p - p/(p²+1)，故：
∫ [1/p - p/(p²+1)] dp = -∫ dx
ln|p| - (1/2)ln(p²+1) = -x + C₁
即 ln[|p|/√(p²+1)] = -x + C₁，得 p/√(p²+1) = C₁'·e^(-x)（C₁' = ±e^(C₁)）。
第三步：用初始条件定 C₁'。由 y'(0) = 1 知 p(0) = 1，代入：
1/√2 = C₁'·1，故 C₁' = 1/√2。
于是 p/√(p²+1) = e^(-x)/√2，平方得 p²/(p²+1) = e^(-2x)/2，解得 p² = e^(-2x)/(2 - e^(-2x))，即 p = y' = e^(-x)/√(2 - e^(-2x))（取正根，因 p(0) = 1 > 0）。
第四步：再积分求 y。
y = ∫ e^(-x)/√(2 - e^(-2x)) dx
令 u = e^(-x)，du = -e^(-x)dx，则 y = -∫ du/√(2 - u²) = -arcsin(u/√2) + C₂ = -arcsin(e^(-x)/√2) + C₂。
由 y(0) = 0：0 = -arcsin(1/√2) + C₂ = -π/4 + C₂，得 C₂ = π/4。
特解为：
y = π/4 - arcsin[e^(-x)/√2]
分析：这是二阶常系数非齐次线性方程。按"齐次通解 + 非齐次特解"两步求解。自由项 f(x) = (x+1)e²ˣ = e^(λx)·P₁(x)，其中 λ = 2，P₁(x) = x+1 是一次多项式。
第一步：求齐次通解。特征方程 r² - 4r + 4 = 0，即 (r-2)² = 0，得重根 r₁ = r₂ = 2。
故齐次通解 Y = (C₁ + C₂x)e²ˣ。
第二步：求非齐次特解（待定系数法）。因 λ = 2 是特征方程的重根，故取 k = 2。设特解为：
y* = x²·e²ˣ·(ax + b) = (ax³ + bx²)e²ˣ（其中 ax+b 是与 P₁(x) 同次的一次待定多项式）。
求导：
y*' = (3ax² + 2bx)e²ˣ + 2(ax³ + bx²)e²ˣ = [2ax³ + (3a+2b)x² + 2bx]e²ˣ
y*'' = [6ax² + 2(3a+2b)x + 2b]e²ˣ + 2[2ax³ + (3a+2b)x² + 2bx]e²ˣ = [4ax³ + (12a+4b)x² + (6a+8b)x + 2b]e²ˣ
代入 y'' - 4y' + 4y = (x+1)e²ˣ，两边约去 e²ˣ，计算 y*'' - 4y*' + 4y*：
由于 e²ˣ 是重根对应的解，x³、x² 项会大量抵消，最终只剩 x 和常数项。经计算（利用 (D-2)² 作用于 xᵏe²ˣ 的性质）：
y*'' - 4y*' + 4y* = [6ax + 2b]e²ˣ
与 (x+1)e²ˣ 比较系数：6a = 1，2b = 1，得 a = 1/6，b = 1/2。
故 y* = (x³/6 + x²/2)e²ˣ。
第三步：写出通解。
y = Y + y* = (C₁ + C₂x)e²ˣ + (x³/6 + x²/2)e²ˣ = (C₁ + C₂x + x²/2 + x³/6)e²ˣ
第一步：建立微分方程。切线斜率即 y'，由题意：
y' = 2x - y，即 y' + y = 2x。
这是一阶线性微分方程，P(x) = 1，Q(x) = 2x。
第二步：写出初始条件。曲线过原点，即 y(0) = 0。
第三步：求通解。用通解公式：
∫Pdx = ∫1 dx = x，e^(-∫Pdx) = e^(-x)，e^(∫Pdx) = eˣ。
y = e^(-x)·[∫ 2x·eˣ dx + C]
用分部积分法计算 ∫ 2x·eˣ dx：取 u = 2x，dv = eˣdx，则 ∫2xeˣdx = 2xeˣ - ∫2eˣdx = 2xeˣ - 2eˣ = 2eˣ(x - 1)。
故 y = e^(-x)·[2eˣ(x-1) + C] = 2(x-1) + Ce^(-x)。
第四步：代入初始条件定常数。由 y(0) = 0：
0 = 2(0-1) + C·1 = -2 + C，得 C = 2。
第五步：写出特解（曲线方程）。
y = 2(x - 1) + 2e^(-x) = 2x - 2 + 2e^(-x)
验证：y(0) = -2 + 2 = 0 ✓；y' = 2 - 2e^(-x)，2x - y = 2x - 2x + 2 - 2e^(-x) = 2 - 2e^(-x) = y' ✓。所求曲线方程为 y = 2x - 2 + 2e^(-x)。
📖 章节小结
- 微分方程的基本概念是基础：方程的阶=最高阶导数阶数；通解含相互独立的任意常数且个数=阶数；初始条件用于确定特解。初值问题（Cauchy 问题）是求满足初始条件的特解。
- 一阶微分方程的核心是"识别类型、套用解法"。可分离变量方程用分离变量法；齐次方程 y'=φ(y/x) 令 u=y/x 化为可分离；一阶线性方程 y'+P(x)y=Q(x) 用通解公式或常数变易法；伯努利方程 y'+P(x)y=Q(x)yⁿ 令 z=y^(1-n) 化为线性。必要时可交换 x, y 地位。
- 可降阶方程有三类：y''=f(x) 直接积分；y''=f(x,y')（缺 y）令 y'=p(x)，y''=p'；y''=f(y,y')（缺 x）令 y'=p(y)，y''=p·dp/dy。关键是根据"缺谁"选对代换，注意两种 y'' 表达式的区别。降阶后求出 p 还需再积分得 y。
- 二阶常系数线性方程是核心考点。齐次方程用特征方程法：r²+pr+q=0，按"两不等实根→C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)"、"重根→(C₁+C₂x)e^(rx)"、"共轭复根 α±βi→e^(αx)(C₁cos βx+C₂sin βx)"写出通解。
- 非齐次方程用待定系数法求特解。f(x)=e^(λx)Pm(x) 时设 y*=xᵏe^(λx)Qm(x)，k 由 λ 是否为特征根及重数决定（0,1,2）；f(x)=e^(λx)[Pl cos ωx+Pn sin ωx] 时设 y*=xᵏe^(λx)[Rm cos ωx+Sm sin ωx]，k 由 λ±ωi 是否为特征根决定（0,1）。cos 和 sin 成对出现。通解=齐次通解+非齐次特解。
- 线性微分方程解的结构是理论基础：齐次通解=线性无关基础解系的线性组合；非齐次通解=齐次通解+非齐次特解；叠加原理适用于线性方程。线性无关性可用两函数比值法或朗斯基行列式判断。这一结构对所有线性方程（含变系数、高阶）均成立。
- 微分方程的应用是综合考查点。几何应用抓住切线斜率=y'、法线斜率=-1/y'、含积分关系式求导消积分；物理应用熟记牛顿冷却定律 dT/dt=-k(T-Ta)、放射性衰变 dN/dt=-λN、牛顿第二定律 F=ma。建模步骤：设未知函数→建立微分关系→写初始条件→求解→定特解→作答。
- 备考建议：本章套路性强但计算量大，建议重点训练一阶方程的快速识别与求解、二阶常系数方程的特征方程法与待定系数法（特别是 k 值的判断）、应用题的建模能力。计算时注意积分常数不要遗漏、特解形式设对、代入初始条件定值。欧拉方程（数学一）用 x=eᵗ 代换化为常系数方程求解，作为补充掌握。