随机变量及其分布

设 F(x) 为随机变量 X 的分布函数，则 F(x) 具有以下性质：

① 单调不减：若 x₁ < x₂，则 F(x₁) ≤ F(x₂)。

② 规范性（有界性）：0 ≤ F(x) ≤ 1，且 lim_x→-∞ F(x) = 0，lim_x→+∞ F(x) = 1。

③ 右连续：F(x+0) = F(x)，即 F(x) 在每一点处右连续（注意：未必左连续）。

④ 区间概率：对任意 x₁ < x₂，有 P{x₁ < X ≤ x₂} = F(x₂) - F(x₁)。

⑤ 单点概率：P{X = x} = F(x) - F(x-0)，其中 F(x-0) 为 F 在 x 处的左极限。

设 λ > 0 为常数，n 为正整数。若 n 较大而 p 较小（一般 n ≥ 20, p ≤ 0.05），且 np = λ（或 np → λ），则

该定理说明：当试验次数很大、单次成功概率很小时，二项分布可用泊松分布近似计算，从而避免计算组合数 C(n,k) 的困难。这是处理"稀有事件"计数问题的常用工具。

① 非负性：f(x) ≥ 0（注意：密度函数值可以大于 1，不表示概率）。

② 规范性：∫_-∞^+∞ f(x) dx = 1（曲线下总面积为 1）。

③ 区间概率：P{a < X ≤ b} = ∫_a^b f(x) dx（概率等于密度曲线下相应区间的面积）。

④ 单点概率为零：P{X = a} = 0（连续型随机变量取任一单点概率为 0）。

⑤ 密度与分布函数互求：在 f(x) 的连续点处，F'(x) = f(x)。

① 对称性：φ(-x) = φ(x)（密度为偶函数）。

② 分布函数互补：Φ(-x) = 1 - Φ(x)（由对称性直接得到）。

③ 中心值：Φ(0) = 1/2。

④ 对称区间概率：P{|X| ≤ a} = 2Φ(a) - 1（a ≥ 0）。

⑤ 上侧 α 分位数：若 X ~ N(0,1)，称满足 P{X > u_α} = α 的数 u_α 为标准正态的上侧 α 分位数，有 u_α = Φ^-1(1-α)，且 u_1-α = -u_α。

若 X ~ N(μ, σ²)（σ > 0），则作线性变换

即将一般正态变量减去均值 μ、除以标准差 σ，便转化为标准正态变量。由此，任何一般正态分布的概率计算都可化为查标准正态表 Φ(x)：

① 线性变换仍正态：若 X ~ N(μ, σ²)，a, b 为常数且 a ≠ 0，则

特别地，(X-μ)/σ ~ N(0,1)（即标准化）。

② 独立正态变量的线性组合仍正态：若 X ~ N(μ₁, σ₁²)，Y ~ N(μ₂, σ₂²)，且 X, Y 相互独立，a, b 为不全为零的常数，则

③ 推广：有限个相互独立的正态变量的任意非平凡线性组合仍服从正态分布。该结论是后续"中心极限定理"与数理统计中抽样分布的基础。

注意：②③要求各正态变量相互独立。若不独立，则需用协方差计算线性组合的方差（见第十三章）。

① F(x, y) 分别关于 x 和 y 单调不减。

② 0 ≤ F(x,y) ≤ 1；F(-∞, y) = 0，F(x, -∞) = 0，F(+∞, +∞) = 1。

③ F(x, y) 关于 x 和 y 均右连续。

④ 矩形不等式：对 x₁ < x₂, y₁ < y₂，有

该不等式恒非负是 F 作为联合分布函数的充要条件之一（仅满足单调、规范、右连续还不够，须满足此矩形非负性）。

设 F(x,y) 及 F_X(x)、F_Y(y) 分别为 (X,Y) 的联合分布函数与边缘分布函数。若对任意实数 x, y，有

则称随机变量 X 与 Y 相互独立。

离散型等价条件：对一切 i, j，pᵢⱼ = pᵢ• · p•ⱼ（联合分布律等于两个边缘分布律之积）。

连续型等价条件：在连续点处 f(x,y) = f_X(x)·f_Y(y)（联合密度等于两个边缘密度之积，几乎处处成立）。

① 定义法：直接验证 F(x,y) = F_X(x)F_Y(y) 是否对所有 x, y 成立。

② 离散型：逐一检查联合分布律矩阵中每个 pᵢⱼ 是否等于对应行和与列和的乘积；只要有一个 i, j 不满足，即不独立。

③ 连续型（因式分解法）：若联合密度 f(x,y) 能分解为一个只含 x 的函数与一个只含 y 的函数的乘积，且其非零区域为矩形（可分离为 x 的区间与 y 的区间的笛卡尔积），则 X 与 Y 独立；否则不独立。

④ 重要性质：若 X, Y 独立，g, h 为连续函数（或 Borel 函数），则 g(X) 与 h(Y) 也独立。特别地，aX+b 与 cY+d 独立。

⑤ 与条件分布的关系：若 f_Y(y) > 0，则 X 与 Y 独立 ⟺ f_X|Y(x|y) = f_X(x)（条件分布等于无条件分布）。

① 乘积概率：若 X, Y 独立，则对任意区间（或集合）A, B，P{X∈A, Y∈B} = P{X∈A}·P{Y∈B}。

② 联合分布的构造：独立时联合分布（密度/分布律）等于边缘分布之积，可由边缘分布直接构造联合分布，无需额外信息。

③ 正态变量的线性组合：独立的正态变量的线性组合仍服从正态分布（见第五节性质②），这是数理统计中构造抽样分布的基础。

④ 多维推广：独立性可推广到 n 个随机变量：X₁, …, Xₙ 独立 ⟺ 联合分布函数等于各边缘分布函数之积。相互独立必两两独立，但两两独立未必相互独立。

设 X 为离散型随机变量，分布律为 P{X = xₖ} = pₖ，Y = g(X)。求 Y 的分布律步骤如下：

第一步：由 X 的所有取值 xₖ 算出 Y 的对应值 yₖ = g(xₖ)，并列出 P{Y = yₖ} = pₖ。

第二步（合并相同值）：若不同的 xₖ 对应相同的 y 值，则将这些 xₖ 对应的概率相加，作为 Y 取该 y 值的概率。

即：P{Y = yⱼ} = Σ_g(xₖ)=yⱼ pₖ。注意取值各不相同时不需合并。

设 X 为连续型，Y = X²（非单调）。因 Y ≥ 0，对 y > 0：

求导得 f_Y(y) = [f_X(√y) + f_X(-√y)] / (2√y)（y > 0）；y ≤ 0 时 f_Y(y) = 0。这种"解不等式 → 用 X 的分布表示 → 求导"的思路是分布函数法的精髓，适用于一切非单调情形。