第三章

一元函数积分学

不定积分、定积分与反常积分——微积分的逆运算

高等数学约12% 核心章节

本章学习进度

本章目录

考纲要求
不定积分的概念与性质
换元积分法
分部积分法
有理函数与三角有理式的积分
定积分的概念与性质
微积分基本定理
定积分的换元法与分部积分法
反常积分
定积分的应用

📋考纲要求

本章是考研数学的核心章节之一，要求考生深刻理解原函数与不定积分的概念，熟练掌握各种积分方法，理解定积分的本质并能灵活运用微积分基本定理，同时掌握反常积分的敛散性判别与定积分的几何物理应用。

知识点	考试要求	考查层次
原函数与不定积分的概念	理解原函数的概念，理解不定积分的概念	理解
不定积分的基本性质与基本积分公式	掌握不定积分的基本性质与基本积分公式	掌握
换元积分法与分部积分法	掌握换元积分法与分部积分法	掌握
有理函数、三角有理式及简单无理式的积分	会求有理函数、三角有理式和简单无理函数的积分	会
定积分的概念与性质	理解定积分的概念，掌握定积分的性质	理解
定积分中值定理	理解并会应用定积分中值定理	理解
积分上限函数及其导数	理解变上限定积分定义的函数，会求其导数	掌握
牛顿-莱布尼茨公式	掌握牛顿-莱布尼茨公式	掌握
定积分的换元法与分部积分法	掌握定积分的换元积分法与分部积分法	掌握
反常积分及其敛散性判别	理解反常积分的概念，会判断敛散性并计算	理解
定积分的几何与物理应用	掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量	掌握

📌 命题趋势

积分学在考研数学一中约占12%的分值，是每年必考内容。重点考查不定积分的计算方法（换元法、分部积分法）、变限积分求导、定积分的对称性计算、反常积分敛散性判别以及定积分的几何应用（面积、体积、弧长）。近年来变限积分与反常积分结合出题的频率较高，需重点关注。

∫不定积分的概念与性质

一、原函数的定义

📖 定义：原函数 ▼

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。如果存在函数 $F(x)$ ，使得对 $I$ 上任意一点 $x$ ，都有

F'(x) = f(x) 或 dF(x) = f(x)dx

则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

💡 原函数存在定理

若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $I$ 上一定存在原函数。这是原函数存在的充分条件（但非必要条件）。注意：连续函数必有原函数，但有原函数的函数不一定连续。

原函数具有以下重要性质：若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，则 $F(x) + C$ （ $C$ 为任意常数）也是 $f(x)$ 的原函数，且 $f(x)$ 的任意两个原函数之间仅相差一个常数。这说明原函数的全体可表示为 $F(x) + C$ 。

二、不定积分的定义

📖 定义：不定积分 ▼

函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的全体原函数称为 $f(x)$ 在 $I$ 上的不定积分，记作

\int f(x) dx = F(x) + C

其中 $\int$ 称为积分号， $f(x)$ 称为被积函数， $f(x)dx$ 称为被积表达式， $x$ 称为积分变量， $C$ 称为积分常数。

三、基本积分公式表

以下基本积分公式是计算不定积分的基础，必须熟记。这些公式可由基本求导公式直接反推得到。

序号	积分公式	序号	积分公式
1	$\int k dx = kx + C$ （k为常数）	9	$\int cos x dx = sin x + C$
2	$\int x μ dx = x μ+1 /(μ+1) + C$ （μ≠-1）	10	$\int sec²x dx = tan x + C$
3	$\int (1/x) dx = ln\|x\| + C$	11	$\int csc²x dx = -cot x + C$
4	$\int a x dx = a x /ln a + C$ （a>0, a≠1）	12	$\int sec x tan x dx = sec x + C$
5	$\int e x dx = e x + C$	13	$\int csc x cot x dx = -csc x + C$
6	$\int sin x dx = -cos x + C$	14	$\int 1/\sqrt(1-x²) dx = arcsin x + C$
7	$\int 1/(1+x²) dx = arctan x + C$	15	$\int tan x dx = -ln\|cos x\| + C$
8	$\int 1/(a²+x²) dx = (1/a) arctan(x/a) + C$	16	$\int cot x dx = ln\|sin x\| + C$

此外，还需掌握以下常用补充公式：

\int 1/\sqrt(a²-x²) dx = arcsin(x/a) + C （a > 0）

\int 1/\sqrt(x²\pma²) dx = ln|x + \sqrt(x²\pma²)| + C

\int 1/(x²-a²) dx = (1/2a) ln|(x-a)/(x+a)| + C

\int \sqrt(a²-x²) dx = (x/2)\sqrt(a²-x²) + (a²/2) arcsin(x/a) + C

四、不定积分的基本性质

不定积分具有以下基本性质，这些性质是进行积分运算的基础：

性质1：\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx 线性性

性质2：\int k\cdotf(x) dx = k\cdot\int f(x) dx （k 为非零常数） 常数因子

性质3：[\int f(x) dx]' = f(x) 即 d\intf(x)dx = f(x)dx 积分与求导互逆

性质4：\int F'(x) dx = F(x) + C 即 \int dF(x) = F(x) + C 先微后积

⚠️ 注意事项

不定积分的结果中不可遗漏常数 C。在不定积分的计算中，先积后微与先微后积的差别仅在于一个任意常数。此外，性质1可以推广到有限个函数的代数和。

🔄换元积分法

利用基本积分公式和性质能直接计算的积分非常有限，绝大多数积分需要通过换元法或分部积分法将其转化为基本积分公式的形式。换元积分法分为第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。

一、第一类换元法（凑微分法）

第一类换元法也称为凑微分法，其核心思想是将被积表达式中某一部分凑成某个函数的微分，从而将积分转化为基本积分公式中的形式。

📐 定理：第一类换元法 ▼

设 $f(u)$ 具有原函数 $F(u)$ ， $u = φ(x)$ 可导，则有换元公式：

\int f[φ(x)] φ'(x) dx = \int f(u) du = F(u) + C = F[φ(x)] + C

其中令 $u = φ(x)$ ，则 $du = φ'(x)dx$ 。

常见的凑微分形式如下，掌握这些模式可以快速识别凑微分的方向：

被积函数特征	凑微分方式	换元
$f(ax+b)$	$dx = (1/a)d(ax+b)$	$u = ax+b$
$x\cdotf(x²) dx$	$x dx = (1/2)d(x²)$	$u = x²$
$f(ln x)/x dx$	$(1/x)dx = d(ln x)$	$u = ln x$
$f(eˣ)eˣ dx$	$eˣ dx = d(eˣ)$	$u = eˣ$
$f(sinx)cosx dx$	$cosx dx = d(sinx)$	$u = sinx$
$f(cosx)sinx dx$	$sinx dx = -d(cosx)$	$u = cosx$
$f(tanx)/cos²x dx$	$sec²x dx = d(tanx)$	$u = tanx$
$f(arcsinx)/\sqrt(1-x²) dx$	$dx/\sqrt(1-x²) = d(arcsinx)$	$u = arcsinx$
$f(arctanx)/(1+x²) dx$	$dx/(1+x²) = d(arctanx)$	$u = arctanx$

二、第二类换元法

第二类换元法是从相反的方向应用复合函数求导法则，通过引入新的变量替换，将被积函数化为更容易积分的形式。常用的有三角换元和根式换元。

📐 定理：第二类换元法 ▼

设 $x = ψ(t)$ 是单调、可导的函数，且 $ψ'(t) \neq 0$ 。又设 $f[ψ(t)]ψ'(t)$ 具有原函数 $G(t)$ ，则有换元公式：

\int f(x) dx = \int f[ψ(t)] ψ'(t) dt = G(t) + C = G[ψ⁻¹(x)] + C

其中 $ψ⁻¹(x)$ 是 $x = ψ(t)$ 的反函数。

1. 三角换元

三角换元主要用于消去被积函数中的二次根式，根据根式的形式选择不同的换元方式：

根式形式	换元方式	依据	回代
$\sqrt(a²-x²)$	令 $x = a sin t$ （\|t\|≤π/2）	1-sin²t = cos²t	$t = arcsin(x/a)$
$\sqrt(a²+x²)$	令 $x = a tan t$ （\|t\|<π/2）	1+tan²t = sec²t	$t = arctan(x/a)$
$\sqrt(x²-a²)$	令 $x = a sec t$ （0<t<π/2）	sec²t-1 = tan²t	$t = arcsec(x/a)$

2. 根式换元

当被积函数中含有简单根式时，可直接令根式等于新变量来去掉根号。例如：

含 \sqrt(ax+b) 时，令 t = \sqrt(ax+b)，则 x = (t²-b)/a, dx = (2t/a)dt

含 ∜(ax+b) 等高次根式时，令 t = ∜(ax+b) 进行换元

🎯 换元技巧总结

选择换元方法的经验法则：

1. 凑微分法优先：先观察被积函数是否能凑成 $f[φ(x)]φ'(x)$ 的形式，能凑则凑，最为简便。

2. 三角换元看根式：见到 $\sqrt(a²-x²)$ 用正弦换元， $\sqrt(a²+x²)$ 用正切换元， $\sqrt(x²-a²)$ 用正割换元。

3. 根式换元去根号：对于 $\sqrt(ax+b)$ 等简单根式，直接令根式为新变量。

4. 倒代换：当被积函数中分母的最高次数大于分子的最高次数时，可尝试令 $x = 1/t$ 。

5. 换元要回代：不定积分换元后，最后结果必须换回原变量 $x$ 。

✂️分部积分法

分部积分法是利用两个函数乘积的求导法则推导出来的积分方法，主要用于被积函数为两类不同函数乘积的情形。

一、分部积分公式

📐 定理：分部积分法 ▼

设函数 $u = u(x)$ 及 $v = v(x)$ 具有连续导数，则有分部积分公式：

\int u dv = uv - \int v du

等价地写作： $\int u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - \int u'(x) v(x) dx$

分部积分法的本质是将求 $\int u dv$ 转化为求 $\int v du$ ，若后者比前者更容易计算，则达到了简化目的。

二、如何选择 u 和 dv

分部积分法成功的关键在于恰当地选择 $u$ 和 $dv$ 。一般原则是： $dv$ 要容易求出原函数 $v$ ，而 $u$ 的导数 $u'$ 要比 $u$ 更简单。

🎯 选择 u 和 dv 的策略——LIATE 法则

按照以下优先级选择 $u$ （排在前面的优先选为 u）：

L（Logarithmic，对数函数）：ln x, logₐx 等

I（Inverse trigonometric，反三角函数）：arcsin x, arctan x 等

A（Algebraic，代数/幂函数）：xⁿ, 多项式等

T（Trigonometric，三角函数）：sin x, cos x 等

E（Exponential，指数函数）：eˣ, aˣ 等

即：对数 → 反三角 → 幂函数 → 三角 → 指数。排在左边的函数类型选为 $u$ ，排在右边的与 dx 组成 $dv$ 。

被积函数类型	选 u	选 dv	说明
$xⁿ eˣ dx$	$u = xⁿ$	$dv = eˣ dx$	幂函数求导降次
$xⁿ sin x dx$ 或 $xⁿ cos x dx$	$u = xⁿ$	$dv = sin x dx / cos x dx$	幂函数求导降次
$xⁿ ln x dx$	$u = ln x$	$dv = xⁿ dx$	对数求导变幂函数
$xⁿ arcsin x dx$	$u = arcsin x$	$dv = xⁿ dx$	反三角求导变代数式
$xⁿ arctan x dx$	$u = arctan x$	$dv = xⁿ dx$	反三角求导变有理式
$eˣ sin x dx$ 或 $eˣ cos x dx$	$u = sin x / cos x$ 或 $u = eˣ$	$dv = eˣ dx$ 或三角	需两次分部积分，出现循环

⚠️ 循环型分部积分

对于 $\int eˣ sin x dx$ 或 $\int eˣ cos x dx$ 这类积分，需要连续使用两次分部积分法，第二次分部时 $u$ 的选择必须与第一次保持同一类型（即第一次选指数为 u，第二次也选指数为 u），否则会回到原式。两次分部后，原积分会以等式形式再次出现，移项求解即可。

📊有理函数与三角有理式的积分

一、有理函数的积分

有理函数是指两个多项式的商 $P(x)/Q(x)$ 。当分子的次数低于分母的次数时称为真分式，否则称为假分式。假分式可通过多项式除法化为多项式与真分式之和。

有理真分式的积分方法是部分分式分解，即将其分解为若干简单分式之和。分解规则取决于分母 $Q(x)$ 的因式类型：

分母因式类型	对应的分式分解	积分结果
$(ax+b)$ （一次单因式）	$A/(ax+b)$	$(A/a)ln\|ax+b\|$
$(ax+b)ᵏ$ （一次重因式）	$A₁/(ax+b) + A₂/(ax+b)² + ... + Aₖ/(ax+b)ᵏ$	对数与幂函数
$(px²+qx+r)$ （二次不可约因式）	$(Ax+B)/(px²+qx+r)$	arctan 与 ln
$(px²+qx+r)ᵏ$ （二次重因式）	$(A₁x+B₁)/(...) + ... + (Aₖx+Bₖ)/(... )ᵏ$	递推计算

💡 部分分式分解要点

1. 先将分母 $Q(x)$ 在实数范围内分解为一次因式和二次不可约因式的乘积。

2. 二次不可约因式是指判别式 $q²-4pr < 0$ 的二次多项式。

3. 用待定系数法求出各常数 $A, B, ...$ ，常用方法是比较系数法和赋值法。

4. 有理函数的原函数一定是初等函数（有理函数、对数函数、反正切函数的组合）。

二、三角有理式的积分

三角有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数，记为 $R(sin x, cos x)$ 。

万能代换（半角代换）

📐 万能代换 ▼

令 $t = tan(x/2)$ （万能代换/半角代换），则：

sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1-t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²)

万能代换可将任何三角有理式的积分转化为有理函数的积分，因此称为"万能"。但由于计算量通常较大，应优先考虑其他简化方法。

🎯 三角有理式积分的简化策略

在使用万能代换之前，先尝试以下简化方法：

1. 利用三角恒等式：如 $sin²x + cos²x = 1$ 、 $倍角公式$ 、 $积化和差$ 等。

2. R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)（关于 sin x 为奇函数）：令 $t = cos x$ 。

3. R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)（关于 cos x 为奇函数）：令 $t = sin x$ 。

4. R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)（关于 sin x, cos x 为偶函数）：令 $t = tan x$ 。

5. 仅当以上方法均不奏效时，再使用万能代换 $t = tan(x/2)$ 。

三、简单无理函数的积分

对于含有根式的无理函数积分，基本原则是通过换元去掉根号，化为有理函数积分。常见类型包括：

\int R(x, \sqrt(ax+b)) dx \to 令 t = \sqrt(ax+b)

\int R(x, ⁿ\sqrt(ax+b)) dx \to 令 t = ⁿ\sqrt(ax+b)

\int R(x, \sqrt(a²-x²)) dx \to 三角换元 x = a sin t

Σ定积分的概念与性质

一、定积分的定义

📖 定义：定积分（分割-求和-取极限） ▼

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有界。在 $[a, b]$ 中任意插入若干个分点

a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < xₙ = b

将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间，记 $Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁$ ， $λ = max{Δxᵢ}$ 。在每个小区间 $[xᵢ₋₁, xᵢ]$ 上任取一点 $ξᵢ$ ，作乘积 $f(ξᵢ)Δxᵢ$ ，并求和：

S = Σᵢ₌₁ⁿ f(ξᵢ) Δxᵢ

如果不论对 $[a, b]$ 怎样分法，也不论点 $ξᵢ$ 怎样取法，只要当 $λ \to 0$ 时，和 $S$ 总趋于确定的极限 $I$ ，则称此极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记作：

\intₐᵇ f(x) dx = lim(λ\to0) Σᵢ₌₁ⁿ f(ξᵢ) Δxᵢ = I

💡 定积分存在条件

1. 充分条件：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

2. 充分条件：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

3. 必要条件：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有界。

二、定积分的几何意义

定积分 $\intₐᵇ f(x) dx$ 的几何意义是：由曲线 $y = f(x)$ 、直线 $x = a$ 、 $x = b$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形面积的代数和。

当 $f(x) \geq 0$ 时，定积分表示曲边梯形的面积。
当 $f(x) \leq 0$ 时，定积分表示曲边梯形面积的负值。
一般情形，定积分等于 $x$ 轴上方图形面积减去下方图形面积。

三、定积分的性质

定积分具有以下重要性质（设所涉及的积分都存在）：

性质1：\intₐᵇ [kf(x) \pm lg(x)] dx = k\intₐᵇ f(x) dx \pm l\intₐᵇ g(x) dx 线性性

性质2：\intₐᵇ f(x) dx = \intₐᶜ f(x) dx + \intᶜᵇ f(x) dx 区间可加性

性质3：\intₐᵇ 1 dx = b - a 常数积分

性质4：若 f(x) \geq 0 且 a < b，则 \intₐᵇ f(x) dx \geq 0 保号性

性质5：若 f(x) \leq g(x) 且 a < b，则 \intₐᵇ f(x) dx \leq \intₐᵇ g(x) dx 保序性

性质6：|\intₐᵇ f(x) dx| \leq \intₐᵇ |f(x)| dx 绝对值不等式

性质7（估值定理）：若 m \leq f(x) \leq M，则 m(b-a) \leq \intₐᵇ f(x) dx \leq M(b-a) 估值定理

四、定积分中值定理

📐 定理：定积分中值定理 ▼

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则在积分区间 $[a, b]$ 上至少存在一点 $ξ$ ，使得下式成立：

\intₐᵇ f(x) dx = f(ξ)(b - a) （a \leq ξ \leq b）

几何意义：以区间 $[a, b]$ 为底边、以 $y = f(x)$ 为曲边的曲边梯形面积，等于同一底边而高为 $f(ξ)$ 的矩形面积。

称 $f̄ = (1/(b-a))\intₐᵇ f(x) dx$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值。

🎯 中值定理的推广应用

定积分中值定理可推广为加权积分中值定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积且不变号，则存在 $ξ \in [a,b]$ ，使得 $\intₐᵇ f(x)g(x) dx = f(ξ)\intₐᵇ g(x) dx$ 。当 $g(x) \equiv 1$ 时即为普通的积分中值定理。

⭐微积分基本定理

微积分基本定理揭示了微分与积分之间的内在联系——它们互为逆运算，这是微积分学中最重要的定理，也是本章的核心内容。

一、变上限积分及其导数

⭐ 定理1：变上限积分求导（原函数存在定理） ▼

如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则变上限积分

Φ(x) = \intₐˣ f(t) dt （a \leq x \leq b）

在 $[a, b]$ 上可导，且其导数为

Φ'(x) = d/dx \intₐˣ f(t) dt = f(x) （a \leq x \leq b）

即变上限积分 $Φ(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数。这同时证明了连续函数必有原函数。

变限积分求导的推广公式

考研中常考查变限积分的求导问题，需要掌握以下几种推广形式：

(1) d/dx \intₐᵘ⁽ˣ⁾ f(t) dt = f(u(x)) \cdot u'(x) 上限为函数

(2) d/dx \intᵥ₍ₓ₎ᵇ f(t) dt = -f(v(x)) \cdot v'(x) 下限为函数

(3) d/dx \intᵥ₍ₓ₎ᵘ⁽ˣ⁾ f(t) dt = f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x) 双限均为函数

(4) d/dx \intₐˣ f(x,t) dt = f(x,x) + \intₐˣ \partialf/\partialx dt 被积函数含参变量

⚠️ 变限积分求导易错点

1. 当被积函数中含有积分上限变量 x 时，不能直接套用公式，需先将 x 分离出来或利用换元法将 x 移到积分号外。

2. 公式 (4) 中，当被积函数 $f(x,t)$ 含有参变量 $x$ 时，求导结果是两项之和：一项是将 $x$ 代入上限得到的边界项，另一项是对被积函数关于 $x$ 求偏导后再积分。

3. 求导后不要忘记乘以上限函数的导数 $u'(x)$ 。

二、牛顿-莱布尼茨公式

⭐ 定理2：牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理） ▼

如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数，则

\intₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

记作 $\intₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) - F(a)$ 。

意义：牛顿-莱布尼茨公式深刻揭示了定积分与不定积分之间的联系，将定积分的计算问题转化为求原函数的问题，从而大大简化了定积分的计算。它是微积分学最重要的公式，也被称为微积分基本公式。

🚨 牛顿-莱布尼茨公式的使用条件

1. $f(x)$ 必须在 $[a,b]$ 上连续（或至少可积且存在原函数）。

2. $F(x)$ 必须是 $f(x)$ 在整个区间 $[a,b]$ 上的原函数。

3. 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有有限个间断点，需将积分区间分段，在每个连续的子区间上分别使用牛顿-莱布尼茨公式。

🔀定积分的换元法与分部积分法

一、定积分的换元法

📐 定理：定积分换元法 ▼

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $x = φ(t)$ 满足条件：

(1) $φ(α) = a$ ， $φ(β) = b$ ；

(2) $φ(t)$ 在 $[α, β]$ （或 $[β, α]$ ）上具有连续导数，且其值域不超出 $[a, b]$ 。

则有定积分换元公式：

\intₐᵇ f(x) dx = \intα^β f[φ(t)] φ'(t) dt

⚠️ 换元必须换限！

定积分换元法与不定积分换元法的最大区别在于：定积分换元后无需回代原变量，但必须同时变换积分上下限！

具体来说：当 $x = φ(t)$ 时，原来的上限 $b$ 对应新的上限 $β$ ，原来的下限 $a$ 对应新的下限 $α$ 。新旧上下限的对应关系由 $φ(α) = a, φ(β) = b$ 决定，不一定满足 $α < β$ 。

另外，使用换元法时要求 $φ(t)$ 单调（或至少值域不超出 [a,b]），否则可能出现错误。

利用对称性简化定积分计算

利用函数的奇偶性和积分区间的对称性，可以大大简化定积分的计算。这是考研中的高频考点：

若 f(x) 为偶函数，则 \int₋ₐᵃ f(x) dx = 2\int₀ᵃ f(x) dx 偶函数

若 f(x) 为奇函数，则 \int₋ₐᵃ f(x) dx = 0 奇函数

∫₀^{π/2} f(sinx) dx = ∫₀^{π/2} f(cosx) dx三角对称

\int₀^π x\cdotf(sinx) dx = (π/2)\int₀^π f(sinx) dx 区间对称

二、定积分的分部积分法

定积分的分部积分法与不定积分类似，只需加上上下限即可：

\intₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ - \intₐᵇ v du

选择 $u$ 和 $dv$ 的原则与不定积分的分部积分法完全相同。

三、华里士（Wallis）公式

📐 华里士公式（点火公式） ▼

华里士公式又称"点火公式"，用于计算正弦或余弦函数在 $[0, π/2]$ 上的幂次积分：

Iₙ = ∫₀^{π/2} sinⁿx dx = ∫₀^{π/2} cosⁿx dx

当 $n$ 为正偶数时：

Iₙ = (n-1)!! / n!! \cdot (π/2) = (n-1)/(n) \cdot (n-3)/(n-2) \cdot ... \cdot 1/2 \cdot (π/2)

当 $n$ 为大于 1 的奇数时：

Iₙ = (n-1)!! / n!! = (n-1)/(n) \cdot (n-3)/(n-2) \cdot ... \cdot 2/3 \cdot 1

其中 $n!!$ 表示双阶乘， $0!! = 1$ ， $I₀ = π/2$ ， $I₁ = 1$ 。

🎯 华里士公式记忆口诀

"偶数乘到 1/2 再乘 π/2，奇数乘到 1 为止"。从最大的数开始，每次减 2，连续相乘：

偶数： $I₆ = (5\cdot3\cdot1)/(6\cdot4\cdot2) \cdot (π/2) = (15π)/(96)$

奇数： $I₅ = (4\cdot2)/(5\cdot3\cdot1) = 8/15$

此公式在计算旋转体体积和曲面积分时经常使用，务必熟记。

∞反常积分

前面讨论的定积分要求积分区间有限且被积函数有界。当积分区间为无穷区间，或被积函数在积分区间上无界时，定积分的概念需要推广，这就是反常积分（广义积分）。

一、无穷区间上的反常积分

📖 定义：无穷限反常积分 ▼

(1) [a, +∞) 上的反常积分：设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，若极限 $lim_{b→+∞} ∫ₐᵇ f(x) dx$ 存在，则称反常积分收敛，其值为：

∫ₐ^{+∞} f(x) dx = lim_{b→+∞} ∫ₐᵇ f(x) dx

(2) (-∞, b] 上的反常积分：

∫₋∞ᵇ f(x) dx = lim_{a→-∞} ∫ₐᵇ f(x) dx

(3) (-∞, +∞) 上的反常积分：取任一点 c（通常取 c = 0），

∫₋∞^{+∞} f(x) dx = ∫₋∞ᶜ f(x) dx + ∫ᶜ^{+∞} f(x) dx

仅当右端两个反常积分都收敛时，左端的反常积分才收敛。

二、无界函数的反常积分（瑕积分）

📖 定义：无界函数的反常积分 ▼

设 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，而在点 $a$ 的右邻域内无界（ $a$ 为瑕点），若极限 $lim_{ε→0⁺} ∫_{a+ε}ᵇ f(x) dx$ 存在，则称反常积分收敛：

∫ₐᵇ f(x) dx = lim_{ε→0⁺} ∫_{a+ε}ᵇ f(x) dx

类似地，若 $b$ 为瑕点：

∫ₐᵇ f(x) dx = lim_{ε→0⁺} ∫ₐ^{b-ε} f(x) dx

若 $c \in (a,b)$ 为瑕点，则：

\intₐᵇ f(x) dx = \intₐᶜ f(x) dx + \intᶜᵇ f(x) dx

仅当两部分都收敛时，反常积分才收敛。

三、反常积分的敛散性判别

反常积分敛散性的判别可以直接通过定义计算，也可以使用比较判别法及其极限形式。

1. 重要参考积分

∫₁^{+∞} (1/xᵖ) dx  收敛当且仅当 p > 1p-积分（无穷限）

\int₀¹ (1/xᵖ) dx 收敛当且仅当 p < 1 p-积分（无界函数）

2. 比较判别法

📐 比较判别法 ▼

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，且 $0 \leq f(x) \leq g(x)$ 。

(1) 若 $∫ₐ^{+∞} g(x) dx$ 收敛，则 $∫ₐ^{+∞} f(x) dx$ 也收敛（大的收敛，小的必收敛）；

(2) 若 $∫ₐ^{+∞} f(x) dx$ 发散，则 $∫ₐ^{+∞} g(x) dx$ 也发散（小的发散，大的必发散）。

3. 比较判别法的极限形式

若 lim_{x→+∞} f(x)/g(x) = L (0 < L < +∞)，则 ∫f 与 ∫g 同敛散

若 L = 0：g 收敛 \Rightarrow f 收敛；若 L = +\infty：g 发散 \Rightarrow f 发散

比较的对象通常选择 $1/xᵖ$ ，通过判断 $p$ 的范围来决定敛散性。

⚠️ 反常积分易错点

1. 不要遗漏瑕点：有些积分看似是定积分，但被积函数在某点无界，实际上是反常积分。例如 $\int₋₁¹ (1/x) dx$ 在 x=0 处有瑕点，不能直接用牛顿-莱布尼茨公式计算（结果是发散的）。

2. 分段收敛要求：对于 $∫₋∞^{+∞}$ 型和内部有瑕点的积分，必须分段讨论，两部分都收敛时整体才收敛。不能简单地用对称性判断（如 $∫₋∞^{+∞} x dx$ 是发散的，而不是 0）。

3. 非负函数：比较判别法要求 $f(x) \geq 0$ 。对于变号函数，需先取绝对值或分区间讨论。

📐定积分的应用

定积分的应用核心是微元法（元素法）：将所求量 $U$ 分割为若干微小部分，每一部分近似表示为 $f(x)dx$ ，然后积分求和。微元法的关键是正确写出所求量的微元表达式 $dU = f(x)dx$ 。

一、定积分应用公式表

应用类型	公式	说明
平面图形面积（直角坐标）	$S = \intₐᵇ \|f(x) - g(x)\| dx$	由 y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 围成
平面图形面积（极坐标）	$S = (1/2)\intα^β [r(θ)]² dθ$	由 r=r(θ) 及 θ=α, θ=β 围成
旋转体体积（绕 x 轴）	$Vₓ = π\intₐᵇ [f(x)]² dx$	曲边梯形绕 x 轴旋转
旋转体体积（绕 y 轴）	$Vᵧ = 2π\intₐᵇ x\cdot\|f(x)\| dx$ （柱壳法）	曲边梯形绕 y 轴旋转
平行截面面积已知的立体体积	$V = \intₐᵇ A(x) dx$	A(x) 为垂直于 x 轴的截面面积
平面曲线弧长（直角坐标）	$L = \intₐᵇ \sqrt(1 + [y'(x)]²) dx$	y = y(x), a ≤ x ≤ b
平面曲线弧长（参数方程）	$L = \intα^β \sqrt([x'(t)]² + [y'(t)]²) dt$	x=x(t), y=y(t)
平面曲线弧长（极坐标）	$L = \intα^β \sqrt([r(θ)]² + [r'(θ)]²) dθ$	r = r(θ)
旋转体侧面积	$S = 2π\intₐᵇ \|f(x)\| \sqrt(1 + [f'(x)]²) dx$	y=f(x) 绕 x 轴旋转

二、面积的计算

求平面图形面积时，关键是确定积分变量和上下函数。以 x 为积分变量时，面积微元为 $dS = [上 - 下] dx$ ；以 y 为积分变量时，面积微元为 $dS = [右 - 左] dy$ 。当围成图形的曲线由参数方程或极坐标给出时，应采用相应的面积公式。

三、体积的计算

旋转体体积有两种基本方法：圆盘法（截面法）和柱壳法。

圆盘法：以垂直于旋转轴的截面为圆， $dV = π\cdotr²\cdotdx$ ，其中 r 为截点到旋转轴的距离。
柱壳法：以平行于旋转轴的薄壳为微元， $dV = 2π\cdotr\cdoth\cdotdx$ ，其中 r 为微元到旋转轴的距离，h 为微元高度。

对于平行截面面积 $A(x)$ 已知的立体，体积直接由 $V = \intₐᵇ A(x) dx$ 计算。

四、弧长与旋转体侧面积

弧长公式本质上是 $dL = \sqrt(dx² + dy²)$ ，在不同坐标系下展开为不同形式。旋转体侧面积的微元为 $dS = 2π\cdot|y|\cdotdL$ ，即将弧长微元绕轴旋转一圈得到的薄带面积。

💡 物理应用（了解）

定积分在物理中的应用也是考研可能涉及的内容，包括：变力沿直线做功 $W = \intₐᵇ F(x) dx$ 、液体静压力 $P = ρg\intₐᵇ x\cdotf(x) dx$ 、函数平均值 $f̄ = (1/(b-a))\intₐᵇ f(x) dx$ 等。数学一对物理应用要求相对较低，但需了解基本方法。

📝典型例题

📝 例题1：换元积分法

题目：求不定积分

\int x² / \sqrt(1 - x²) dx

。

解答：

分析：被积函数含有 $\sqrt(1-x²)$ ，采用三角换元。

令 $x = sin t$ （|t| < π/2），则 $dx = cos t dt$ ， $\sqrt(1-x²) = cos t$ 。

代入得：

$\int x²/\sqrt(1-x²) dx = \int (sin²t / cos t) \cdot cos t dt = \int sin²t dt$

利用降幂公式 $sin²t = (1 - cos 2t)/2$ ：

$= \int (1 - cos 2t)/2 dt = t/2 - (sin 2t)/4 + C$

回代： $t = arcsin x$ ， $sin 2t = 2 sin t cos t = 2x\sqrt(1-x²)$ ，所以：

$= (1/2)arcsin x - (1/4)\cdot2x\sqrt(1-x²) + C = (1/2)arcsin x - (1/2)x\sqrt(1-x²) + C$

📝 例题2：分部积分法

题目：求不定积分

\int eˣ sin x dx

。

解答：

分析：被积函数为指数函数与三角函数的乘积，需使用分部积分法，且需两次分部后出现循环。

设 $I = \int eˣ sin x dx$ 。取 $u = sin x$ ， $dv = eˣ dx$ ，则 $du = cos x dx$ ， $v = eˣ$ 。

第一次分部积分：

$I = eˣ sin x - \int eˣ cos x dx$

对 $\int eˣ cos x dx$ 再次分部（注意 u 的类型要与第一次一致，仍取三角函数为 u）：取 $u = cos x$ ， $dv = eˣ dx$ ，则 $du = -sin x dx$ ， $v = eˣ$ 。

$\int eˣ cos x dx = eˣ cos x + \int eˣ sin x dx = eˣ cos x + I$

代回第一式：

$I = eˣ sin x - (eˣ cos x + I) = eˣ sin x - eˣ cos x - I$

移项解得：

$2I = eˣ sin x - eˣ cos x$ ，即 $I = (eˣ/2)(sin x - cos x) + C$

📝 例题3：定积分计算

题目：计算定积分

\int₀^π x sin x dx

。

解答：

方法一：直接分部积分。

取 $u = x$ ， $dv = sin x dx$ ，则 $du = dx$ ， $v = -cos x$ 。

$\int₀^π x sin x dx = [-x cos x]₀^π + \int₀^π cos x dx$

$= -π cos π + 0\cdotcos 0 + [sin x]₀^π = -π(-1) + (sin π - sin 0) = π + 0 = π$

方法二：利用区间对称公式。

由公式 $\int₀^π x\cdotf(sinx) dx = (π/2)\int₀^π f(sinx) dx$ ，令 $f(sinx) = sin x$ ：

$\int₀^π x sin x dx = (π/2)\int₀^π sin x dx = (π/2)[-cos x]₀^π = (π/2)\cdot2 = π$

两种方法结果一致，答案为 $π$ 。

📝 例题4：反常积分判别

题目：判断反常积分

∫₁^{+∞} (1 / (x√(x²-1))) dx

的敛散性，若收敛则求其值。

解答：

分析：这是一个无穷限反常积分，且被积函数在 x→1⁺ 时趋于无穷（x=1 为瑕点），因此既是无穷限反常积分，又是无界函数反常积分。但注意到 x=1 处 $1/\sqrt(x²-1) ~ 1/\sqrt(2(x-1))$ ，p=1/2 < 1，瑕积分收敛。主要讨论无穷限部分。

用换元法计算。令 $x = sec t$ （0 < t < π/2），则 $dx = sec t tan t dt$ ， $\sqrt(x²-1) = tan t$ 。

当 $x = 1$ 时 $t = 0$ ；当 $x \to +\infty$ 时 $t \to π/2$ 。

$∫₁^{+∞} 1/(x√(x²-1)) dx = ∫₀^{π/2} (sec t tan t)/(sec t · tan t) dt = ∫₀^{π/2} 1 dt = π/2$

因此该反常积分收敛，其值为 $π/2$ 。

📝 自测练习

完成以下5道选择题，检验本章学习效果。每题作答后即时显示对错与解析。

1不定积分

\int x ln x dx

的结果为：

A (x²/2) ln x - x²/4 + C
B (x²/2) ln x + x²/4 + C
C x² ln x - x²/2 + C
D (x²/2) ln x - x/2 + C

解析：取 u = ln x，dv = x dx，则 du = (1/x)dx，v = x²/2。∫ x ln x dx = (x²/2)ln x - ∫ (x²/2)(1/x) dx = (x²/2)ln x - (1/2)∫x dx = (x²/2)ln x - x²/4 + C。正确答案为 A。

2设

f(x) = \int₀ˣ (sin t / t) dt

，则

f'(x)

等于：

A sin x
B sin x / x
C cos x / x
D (x cos x - sin x) / x²

解析：根据变上限积分求导公式，当 f(x) = ∫₀ˣ g(t) dt 时，f'(x) = g(x)。这里 g(t) = sin t / t，所以 f'(x) = sin x / x。注意不需要用商的求导法则，直接代入上限即可。正确答案为 B。

3反常积分

∫₁^{+∞} (1 / x²) dx

的值为：

A 发散
B 0
C 1
D 1/2

解析：∫₁^{+∞} (1/x²) dx = lim_{b→+∞} [-1/x]₁ᵇ = lim_{b→+∞} (-1/b + 1) = 1。这是 p-积分，p=2>1，收敛。正确答案为 C。

4曲线

y = x²

与

y = \sqrtx

所围成的平面图形的面积为：

A 1/3
B 1/2
C 2/3
D 1

解析：两曲线交点为 x=0 和 x=1（由 x²=√x 得 x=0 或 x=1）。在 [0,1] 上 √x ≥ x²，所以面积 S = ∫₀¹ (√x - x²) dx = [2x^(3/2)/3 - x³/3]₀¹ = 2/3 - 1/3 = 1/3。正确答案为 A。

5设

f(x)

在

[-1, 1]

上连续，且

f(x)

为奇函数，则

\int₋₁¹ f(x) dx

等于：

A 2∫₀¹ f(x) dx
B ∫₀¹ f(x) dx
C 0
D 无法确定

解析：奇函数在对称区间上的积分为 0。由于 f(x) 是奇函数（即 f(-x) = -f(x)），且积分区间 [-1, 1] 关于原点对称，根据定积分的对称性性质，∫₋₁¹ f(x) dx = 0。正确答案为 C。

📖 章节小结

不定积分是求导的逆运算，关键是掌握基本积分公式、换元积分法（凑微分法与三角/根式换元）和分部积分法。选择方法的优先级为：先凑微分，再分部积分，最后考虑有理函数分解或万能代换。
分部积分法的核心是 LIATE 法则选择 u 和 dv，注意循环型分部积分（如 ∫eˣsinx dx）需要两次分部后移项求解。
定积分的本质是分割-求和-取极限，几何意义为曲边梯形面积的代数和。定积分的性质（线性性、区间可加性、保号性、估值定理、中值定理）是解题的重要工具。
微积分基本定理是本章最重要的定理：变上限积分求导公式 Φ'(x) = f(x) 证明了连续函数必有原函数；牛顿-莱布尼茨公式 ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)-F(a) 将定积分与不定积分联系起来。
变限积分求导是考研高频考点，注意上限为函数时要乘以 u'(x)，被积函数含参变量时需用莱布尼茨公式分两项处理。
定积分换元法必须"换元同时换限"，且无需回代。要熟练利用对称性（奇偶函数、三角函数性质）简化计算。华里士公式是计算正余弦幂次积分的利器。
反常积分分为无穷限和无界函数两类，判别敛散性的关键是识别瑕点和正确分段。p-积分（p>1 收敛于无穷限，p<1 收敛于无界函数）是比较判别法的标准参照。
定积分应用的核心是微元法，重点掌握面积、旋转体体积、截面已知体积、弧长和旋转体侧面积的计算公式，注意根据问题特点选择合适的积分变量。

← 上一章

一元函数微分学

多元函数微分学