6 第5章：三角函数
三角函数是研究周期性变化的核心工具——从钟摆到声波，从潮汐到交流电，无处不在。
三角函数
从单位圆出发，理解周期性的本质
6.1 5.1 任意角和弧度制
6.1.1 任意角
角的概念推广：角由一条射线绕端点旋转而成。
- 正角：逆时针旋转
- 负角：顺时针旋转
- 零角：不旋转
终边相同的角（与角 \(\alpha\) 终边相同的所有角）：
\[\{\beta \mid \beta = \alpha + k \cdot 360°, k \in \mathbb{Z}\} \quad \text{（角度制）}\] \[\{\beta \mid \beta = \alpha + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\} \quad \text{（弧度制）}\]
6.1.2 弧度制
\[1 \text{ 弧度} = \frac{180°}{\pi} \approx 57.3°, \qquad 1° = \frac{\pi}{180} \text{ 弧度}\]
| 度 | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 弧度 | 0 | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
扇形面积：\( S = \dfrac{1}{2} r^2 |\alpha| = \dfrac{1}{2} l r \)
6.2 5.2 三角函数的概念
想象一个钟摆：圆圈上的点 P 随角度 α 转动。
sin α = P 的高度（纵坐标），随角度波动 → 这就是为什么音频是"正弦波"
cos α = P 的横坐标，tan α = P 的纵坐标/横坐标
三角函数定义（单位圆定义）：设单位圆上点 \(P(\cos\alpha, \sin\alpha)\)：
\[\sin\alpha = y \text{（纵坐标）}, \quad \cos\alpha = x \text{（横坐标）}, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]
基本关系：\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)，\(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)
6.3 5.3 诱导公式
记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”
| 公式 | 关系 |
|---|---|
| \(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha\) | 关于原点对称 |
| \(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\) | 关于 \(y\) 轴对称 |
| \(\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha\) | 关于 \(y\) 轴翻折 |
| \(\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha\) | |
| \(\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha\) | 关于原点对称 |
| \(\cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha\) | |
| \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha\) | 互余关系 |
| \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha\) |
6.4 5.4 三角函数的图像与性质
| 函数 | \(y = \sin x\) | \(y = \cos x\) | \(y = \tan x\) |
|---|---|---|---|
| 定义域 | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\{x \mid x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\}\) |
| 值域 | \([-1, 1]\) | \([-1, 1]\) | \(\mathbb{R}\) |
| 周期 | \(2\pi\) | \(2\pi\) | \(\pi\) |
| 奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
6.5 5.5 三角恒等变换
\[\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\] \[\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\]
二倍角公式：
\[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\] \[\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\] \[\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\]
\(a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)\)，其中 \(\tan\varphi = \dfrac{b}{a}\)
6.6 5.6 函数 \(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)
\[\text{振幅（Amplitude）：} A \quad (A > 0)\] \[\text{周期（Period）：} T = \frac{2\pi}{\omega} \quad (\omega > 0)\] \[\text{初相（Phase）：} \varphi\]
6.7 5.7 三角函数的应用
典型应用：已知 \(y = A\sin(\omega x + \varphi)\) 的图像，读出参数。
从图像确定参数的步骤： 1. 读出振幅 \(A\)（最大值与最小值之差除以 2） 2. 读出周期 \(T\)，由 \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\) 求 \(\omega\) 3. 利用已知点坐标代入求初相 \(\varphi\)（注意 \(|\varphi| \leq \dfrac{\pi}{2}\)）
✏️ 章节练习
📋 本章知识小结
- 弧度制换算：π rad = 180°，常记：30°=π/6，45°=π/4，60°=π/3，90°=π/2
- 单位圆定义：sin α = 纵坐标，cos α = 横坐标，tan α = sin/cos
- 诱导公式口诀：奇变偶不变（π/2的奇偶倍），符号看象限（原角在第几象限）
- 二倍角：sin2α=2sinαcosα；cos2α=cos²α-sin²α=1-2sin²α=2cos²α-1
- y=Asin(ωx+φ)：振幅A，周期T=2π/ω，初相φ；从图像读参数三步法